单位根反演

单位根反演

通常用于求 $\sum [x\mid i]f_i$。

形式#

$$[n\mid k]=\frac{1}{n}\sum _{i=0}^{n-1}{\omega }_n^{ik}$$

其中 ${\omega }_n$ 是 $n$ 次单位根，模意义下可以被原根替换。

证明

当 $n\mid k$ 时，${\omega }_n^{ki}=1$。所以右边等于 $\frac{1}{n}\sum _{i=0}^{n-1}1=1$。

当 $n\nmid k$ 时，右边等比数列求和：

$$\frac{1}{n}\times \frac{{\omega }_n^{nk}-1}{{\omega }_n^k-1}$$

因为 ${\omega }_n^{nk}=1$ 所以柿子等于 $0$。

推论#

一个更加常用的形式：设 $F(x)=\sum _{i=0}^n{f}_i{x}^i$，有

$$\sum _{i=0}^n[p\mid i]f_i=\frac{1}{p}\sum _{j=0}^{p-1}F({\omega }_p^j)$$

从原形式推一下就行。

不一定要从 $x^0$ 开始。有 $x$ 的负次幂项也是可以的。

LibreOJ #6485#

给定 $T\le {10}^5$ 组 $n,s,a_0,a_1,a_2,a_3$，求

$$[\sum _{i=0}^n((\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})\cdot s^i\cdot a_{imod4})]mod998244353$$

$1\le n\le {10}^{18},1\le s,a_0,a_1,a_2,a_3\le {10}^8$。

对 $i\equiv 0,1,2,3(mod4)$ 分类讨论：

当 $i\equiv 0(mod4)$ 时：

即求 $S_0=a_0\sum _{i=0}^n[4\mid i](\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})s^i$。

构造 $F_0(x)=(sx+1{)}^n$，单位根反演，$S_0=\frac{a_0}{4}\sum _{j=0}^3{F}_0(g^j)$，其中 $g$ 是 $mod998244353$ 的 $4$ 次单位根。

当 $i\equiv 1(mod4)$ 时：

即求 $S_1=a_1\sum _{i=0}^n[4\mid (i-1)](\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})s^i$

构造 $F_1(x)=\frac{F_0(x)}{x}=\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})\cdot s^i\cdot x^{i-1}$，那么 $S_1=\frac{a_1}{4}\sum _{j=0}^3{F}_1(g^j)$。

$i\equiv 2(mod4)$ 和 $i\equiv 3(mod4)$ 的情况类似。

Code

#include <bits/stdc++.h>
const int mod = 998244353;
using ia = long long;

int T;
ia n, s, a[4];

inline ia qpow(ia b, ia p) {
    ia res = 1;
    for (; p; p >>= 1) {
        if (p & 1)
            res = res * b % mod;
        b = b * b % mod;
    }
    return res;
}

int main() {
    scanf("%d", &T);
    while (T--) {
        scanf("%lld%lld", &n, &s);
        for (int i = 0; i < 4; i++)
            scanf("%lld", &a[i]);
        ia G = qpow(3, (mod - 1) >> 2);

        ia S[4] = {0, 0, 0, 0};
        for (int j = 0; j < 4; j++) {
            ia x = qpow(G, j);
            ia inv_x = qpow(x, mod - 2);
            for (int i = 0; i < 4; i++)
                (S[i] += qpow((s * x + 1) % mod, n) * qpow(inv_x, i)) %= mod;
        }
        for (int j = 0; j < 4; j++)
            S[j] = S[j] * a[j] % mod * qpow(4, mod - 2) % mod;
        std::cout << (S[0] + S[1] + S[2] + S[3]) % mod << '\n';
    }
    return 0;
}