O(nlogn)复杂度三维偏序

给定三个长为 $n$ 的序列 $a,b,c$，求有多少个二元组 $(i,j)$ 满足 $a_i<a_j,b_i<b_j,c_i<c_j$。

$n\le {10}^6$。

考虑对 $(a,b),(a,c),(b,c)$ 分别做一次二维偏序，设它们的偏序数之和为 $S$。

• 当 $(i,j)$ 形成三维偏序的时候，$(i,j)$ 在三次二维偏序里面都被统计了，对 $S$ 的贡献是 $3$。

• 当 $(i,j)$ 只形成二维偏序时，$(i,j)$ 在三次二维偏序里面仅统计一次，对 $S$ 的贡献为 $1$。

• 当 $(i,j)$ 形成一维偏序或者不形成偏序，那么对 $S$ 的贡献为 $0$。

设形成 $x$ 维偏序的 $(i,j)$ 集合为 $A_x$，那么 $|A_3\cup A_2|=\frac{n\times (n-1)}{2}$。对于 $|A_3\cup A_2|$ 里面的数对全部扣掉 $1$ 的贡献，那么 $S\leftarrow S-\frac{n\times (n-1)}{2}$，$A_2$ 中数对对 $S$ 的贡献为 $0$，$A_3$ 中数对对 $S$ 的贡献为$2$。最后答案就是 $\frac{S}{2}$。

时间复杂度 $O(n\log n)$。