DP专题

什么是动态规划

20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman(理查德.贝尔曼)等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优化原理(principle of optimality)，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划(Dynamic Programming)。

动态规划，其实就是将整个问题划分为许多子问题,然后对每个子问题作出决策。

基础动态规划

数字三角形

题目链接: https://www.luogu.com.cn/problem/P1216

        7 
      3   8 
    8   1   0 
  2   7   4   4 
4   5   2   6   5 

针对如上这个例子，我们如果按照贪心的思路，是\(7→8→1→7→5\),算出来是\(28\)。而\(7→3→8→7→5\)的结果为\(30\)。所以贪心是行不通的。

设置状态

定义\(f[i][j]\)为\(\text{到达第}i\text{行第}j\text{列}\)的最大值。

转移方程

我们从最后一层开始，由下往上走，不难得出方程:\(f[i-1][j] = max(f[i][j],f[i][j+1])+a[i-1][j]\)

背包dp

01背包

采药: https://www.luogu.com.cn/problem/P1048

确定状态:设\(f[i][j]\)为前\(i\)株草药总价值不超过\(j\)所获最大价值。

方程: \(f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-w[i]]+v[i])\)

由于第一维什么用也没有，所以舍掉:

优化方程: \(f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+c[i])\)

最终答案为\(f[t]\)

for(int i=1;i<=n;i++)
{
      for(int j=t;j>=v[i];j--)
      {
            if(f[j - v[i]] + c[i] > f[j])f[j] = f[j - v[i]] + c[i];
      }
}

坐标型动态规划

爬楼梯: https://www.lintcode.com/problem/climbing-stairs/description

确定状态：设\(f[i]\)为到达第\(i\)级楼梯的方案

对于每一层楼梯，我们可以由前一层爬一楼或前两层爬两楼。

方程: \(f[i]=f[i-1]+f[i-2]\)

单序列动态规划

最长上升子序列: https://www.lintcode.com/problem/longest-increasing-subsequence/description

确定状态: 设\(f[i]\)为以第\(i\)个结尾的最长上升子序列的长度。

方程: \(f[i]=max(f[i],f[j]+1)(a[i]>a[j])\)

初值: \(f[i]=1\)

for(int i=1;i<=n;i++)
{
	for(int j=1;j<i;j++)
	{
		if(a[i] > a[j])f[i] = max(f[i],f[j] + 1);
	}
}

---

\(End.\)