整数点与Pick定理

Pick 定理   设以整数点为顶点的多边形的面积为S，多边形内部的整数点数为N，多边形边界上的整数点数为L,则

                N+1/2L-1=S.

      对于N与L的计算由下面的程序给出：

typedef struct Point

{

      int x,y;

}POINT;

int gcd(int a,int b)                         //求数a,b的最大公因数

{

     if(b==0) return a;

     else return gcd(b,a%b);

}

多边形边上的网格点个数有下列程序段给出：

int OnEdge(int n,POINT *p)

{

     int i,ret=0;

     for(i=0;i<n;i++)

          ret+=gcd(fabs(p[i].x-p[(i+1)%n].x),fabs(p[i].y-p[(i+1)%n].y));

     return ret;

}

多边形内部的网格点个数由下列程序段给出：

int InSide(int n,POINT *p)

{

    int i,area=0;

    for(i=0;i<n;i++) area+=p[(i+1)%n].y*(p[i].x-p[(i+2)%n].x);           //计算面积

    return (fabs(area)-OnEdge(n,p))/2 +1;

}

 

问题描述

      格点是一个有序(x,y)，其中x和y都是整数。给定三角形的顶点坐标（碰巧是格点）,要你计算完全在三角形中的顶点个数（三角形边上和三角形的顶点不必计算)。

输入    

     输入有多组测试数据。每组测试数据由6个整数x1,y1,x2,y2,x3和y3组成，其中，（x1,y1)、（x2,y2)和（x3,y3)是三角形的顶点坐标。输入中的所有三角形都是非退化的（有正的面积）,-15000≤x1,y1,x2,y2,x3,y3≤15000。当输入的数满足x1=y1=x2=y2=x3=y3=0时表示输入结束，不必处理。

输出

     对每组测试数据，单行上输出三角形内部格点的个数。

输入样例                                                  输出样例

0 0 1 0 0 1                                              0

0 0 5 0 0 5                                              6

0 0 0 0 0 0    

 

分析

     本题可直接用Pick定理：area=OnEdge/2+InSide-1，其中area为顶点都是格点的多边形的面积，OnEdge为多边形上的格点数，InSide为多边形内部的格点数。

     多边形的面积可用叉积计算，但注意可能为负值，需转换。给定两个格点A（x0,y0），B（x1,y1)。设C(X,Y)是线段AB上的一个结点。那么，x=x0+λ(x1-x0)，y=y0+λ(y1-y0)，（0≤λ≤1)。要使x与y均为整数，λ必为一个分数，而且λ的分母是x1-x0与y1-y0的公因数，因此可用最大公因数算法gcd求得。

 

参考程序

 

#include <cmath>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef struct Point
{
      int x,y;
}POINT;
int gcd(int a,int b)
{
    if(b==0) return a;
    else return gcd(b,a%b);
}
int Int_area(POINT a,POINT b,POINT c)                      //平行四边形面积
{
     return (b.x-a.x)*(c.y-a.y)-(b.y-a.y)*(c.x-a.x);
}
int edgenum(POINT a,POINT b)
{
     int dx,dy;
     dx=a.x-b.x;
     if(dx<0) dx=-dx;
     dy=a.y-b.y;
     if(dy<0) dy=-dy;
     return gcd(dx,dy);
}
int main()
{
     POINT a,b,c;
     int area,OnEdge,InSide;
     while(cin>>a.x>>a.y>>b.x>>b.y>>c.x>>c.y&&(a.x||a.y||b.x||b.y||c.x||c.y))
     {
          area=Int_area(a,b,c);
          if(area<0) area=-area;
          OnEdge=edgenum(a,b)+edgenum(b,c)+edgenum(c,a);
          InSide=(area-OnEdge+2)/2;                     //Pick定理应用，area是三角形面积的2倍        
            cout<<InSide<<endl;
      }
      return 0;
}