背包问题总结
背包问题是一个np问题：
一般题意为：
存在n件物品，每件物品的重量为w[i]，价值为v[i]，现在有一个包，承重限制为weight，现在让你从n件物品中，选择一些物品装入背包中，在不超重的前提下，使得背包中所装物品的总价值最大。
由于每件物品【应该是每种物品】存在着两种情况，一种是，每种物品唯有一件，这种情况称为0-1背包问题；
另一种是，每种物品有无数件，这种情况称为完全背包问题。
0-1背包问题：
0-1背包问题存在两种情况，即，对于第i种物品，你只有选择或者不选择两种情况。
（1）使用动态规划来解答：
考虑对第i件物品的选择策略，有两种策略：
①不放第i件物品，那么问题转化为前i-1件物品恰好装入容量为weight的背包中所能获得的最大价值，也即dp[i-1][weight]。【也就是整个背包重量用来装前i-1件物品】
②放第i件物品，那么问题转化为前i-1件物品恰好装入容量为weight-w[i]的背包中所能获得的最大价值，也即dp[i-1][weight-w[i]]+c[i]。【也就是前i-1件物品只能装到重量的v-w[i]】
即选择物品和不选择物品这两种情况而已【weight为当前剩余的背包体积】
状态转移方程：
dp[i][u] = max{dp[i-1][u], dp[i-1][u-w[i]] + v[i]} (1<=i<=n. w[i]<=u<=weight)
核心代码为：
1 for(int i=1; i<n;++i) //从1开始，0为初始边界 2 for(int u=w[i];u<=weight;++v)//正序枚举u 3 dp[i][u] = max(dp[i-1][u], dp[i-1][u-w[i]] + c[i]);
当然，为了缩小空间复杂度，我们也可以用一维数组求解，不过，u的遍历就要逆序遍历了
状态转移方程：
dp[u] = max(dp[u], dp[u-w[i]]+v[i]); 1<=i<=n, w[i]<=v<=weight
1 for(int i=0; i<=n; ++i) 2 for(int u=weight; u>=w[i]; --u)//逆序枚举 3 dp[u] = max(dp[u], dp[u-w[i]]+v[i]);
（2）使用DFS来求解：
很简单，即分两条路进行递归
1 void DFS(int index, int sumW, int sumV) 2 { 3 if(sumW>weight) 4 return; 5 maxV = max(maxV, sumV); 6 for(int i=index; i<n; ++i) 7 { 8 DFS(index+1, sumW, sumV);//不选择index 9 DFS(index+1, sumW+w[index], sumV+v[index]);//选择index 10 } 11 }
完全背包问题：
（1）使用动态规划求解
二维数组：
状态转移方程：
dp[i][u] = max{dp[i-1][u], dp[i][u-w[i]] + v[i]}; 1<=i<=n, w[i]<=u<=weight
边界：
dp[0][u] = 0 0<=v<=u
1 for(int i=1; i<n;++i) //从1开始，0为初始边界 2 for(int u=w[i];u<=weight;++v)//正序枚举u 3 dp[i][u] = max(dp[i-1][u], dp[i][u-w[i]] + c[i]);
一维数组：
状态转移方程：
dp[u] = max{dp[u], dp[u-w[i]] + v[i]} 1<=i<=n, w[i]<=u<=weight
边界：
dp[u] = 0 0<=u<=weight
1 for(int i=1; i<=n; ++i) 2 for(int u=weight; u>=w[i]; --u) 3 dp[u] = max(dp[u], dp[u-w[i]]+v[i])
使用DFS求解
1 void DFS(int index, int sumV, int sumW) 2 { 3 if (sumW > weight) 4 return; 5 if (sumV> maxV) 6 maxV = sumV; 7 for (int i = index; i < n; ++i) 8 { 9 DFS(i + 1, sumV + v[index], sumW + w[index]); //选这件物品 然后继续选这一件 10 DFS(i + 1, sumV + v[index], sumW + w[index]); //选这件物品 然后选下一件 11 DFS(i + 1, sumV, sumW); //不选这件物品 12 } 13 }
