PAT甲级——A1049 Counting Ones
The task is simple: given any positive integer N, you are supposed to count the total number of 1's in the decimal form of the integers from 1 to N. For example, given N being 12, there are five 1's in 1, 10, 11, and 12.
Input Specification:
Each input file contains one test case which gives the positive N (≤).
Output Specification:
For each test case, print the number of 1's in one line.
Sample Input:
12
Sample Output:
5
显然暴力枚举的方法是不可取的,我们需要寻找其中的规律,本题中可以分别计算出每一位的1出现的个数再进行加和。本博客中以数字N=345、N=305、N=315为例,寻找十位数字上是1的数字个数。将数字分成3部分:百位、十位、各位。
显然,从1~345这345个数中,百位数字可以出现0、1、2、3四种,每种百位数字都可以跟一个数字为1的十位,而每种十位数字可以跟0~9这十种数字,所以从1~345这345个数中,十位数字为1的数共有(3+1)×10=40 (3+1)×10=40(3+1)×10=40个,故十位上的1共出现40次。
当N=305时,百位数字依然可以出现0、1、2、3四种,但要注意,百位数字为3时,后面不能再跟数字为1的十位,因为这样的数字已经大于305了,所以从1~305这305个数中,十位数字为1的数共有3×10=30 3×10=303×10=30个,故十位上的1共出现30次。
当N=315时,百位数字依然可以出现0、1、2、3四种,此时要注意,百位数字为3时,后面可以再跟数字为1的十位,但这样的数字个位上只能出现0~5这6个数,即310、311、312、313、314、315,其他数字都会大于315,所以从1~315这315个数中,十位数字为1的数共有3×10+(5+1)=36 3×10+(5+1)=363×10+(5+1)=36个,故十位上的1共出现36次。
综上,对于任意一个数字N,当要判断从右向左数第i位上1出现的次数num时,可以将这个数字分成三部分,分别用left、current、right表示,即left=数字N在i位左侧的数字、current=数字N在第i位的数字、right=数字N在i位右侧的数字。例如数字N=123456,判断从右向左第2位也就是百位上,即数字4所在位置1出现的次数时,left=123、current=4、right=56。此时分三种情况进行计算:
1 #include <iostream> 2 using namespace std; 3 int main() 4 { 5 int n, ans = 0; 6 cin >> n; 7 int left = n / 10, right = 0, cur = n % 10; 8 for (int i = 1; right != n; i *= 10) 9 { 10 ans += left * i + (cur == 0 ? 0 : cur == 1 ? (right + 1) : i); 11 right += cur * i; 12 cur = left % 10; 13 left /= 10; 14 } 15 cout << ans << endl; 16 return 0; 17 }