扩展欧几里得总结

昨天做了一道题，发现我对扩展欧几里得理解的还不够透彻。

下面来说说扩展欧几里得。

Ax+By+C=0；那么我们求解这个方程，我们可以将C移到方程右边那Ax+By=-C;

然后我们先分析下A，B的符号，那么如果A=0，那么By=-C;直接求解，如果B能够整除C的话，那么Y=-C/B;那么x可以取任意整数值，同理当B=0时，那么当A=B=0时，C=0，那么x，y取任意的值，当C不为0则无解。

下面来说下扩展欧几里得 的算法原理：

我们求解 ax+by=gcd(a,b);这里我们假定a>0&&b>0; 那么由欧几里的求最大公约数可以知道gcd(a,b)=gcd(b,a%b);

那么我们可以写得方程a'x^’+b'y’=gcd(a',b');这里我们设a^’=b；b^'=a%b;那么这两个方程是等价的可以写成

ax+by=a'x'+b'y'；那么a%b=a-b×（a/b）；那么ax+by=bx'+(a-b×（a/b）)×y'；那么合并一下ax+by=ay'+b（x'-(a/b)y'）;

那么可以得到x=y’，y=x'-（a/b）y'；最后我们可以的到a×1+b×0=a=gcd(a,b);我习惯于先求a/（gcd(a,b)）x+b/（gcd（a，b））=1的解；

然后ax+by=-C×（a/（gcd(a,b)）x+b/（gcd（a，b）））；然后的x=-C/gcd(a,b)x；y=-C/gcd(a,b)*y；最后通解为x+t×/gcd(a,b);y-t*gcd(a,b);

LL  gcd(LL n,LL m)
{
        if(m==0)
        {
                return n;
        }
        else if(n%m==0)
        {
                return m;
        }
        else return gcd(m,n%m);
}
pair<LL,LL>P(LL n,LL m)
{
        if(m==0)
        {
                pair<LL,LL>ask=make_pair(1,0);
                return ask;
        }
        else
        {
                pair<LL,LL>an=P(m,n%m);
                LL x=an.second;
                LL y=an.first;
                y-=(n/m)*x;
                an.first=x;
                an.second=y;
                return an;
        }
}

 

假如A*B>0;1.(a<0)那么方程可以变为abs(A)x+abs(B)y=C;然后用扩展欧几里得求解即可；

那么这样假设我们要求解在某个范围内的x，和某个范围内的y，这样的解有多少组时，那么我们先求出特解，然后二分t的值，同时二分y中t的值，这样求两个t的重合处就为组数。

假如A*B<0,如果A<0的时候我们改变方程得abs（A）x+abs(B)y=C;我们先解得特解x1，y1；而原方程为abs(A)x-By=C；-By=B(y1)那么特解y=-y1;这时abs(A)(x1+B*t)-B(-y1+abs(A)t);那么这时和上面一样二分找t就行。

假如A*B<0,如果A>0;那么abs（A）x+abs(B)y=-C;解得特解x1，y1；原方程为abs(A)x-abs(B)y=-C；那么特解y=-y1;这时abs(A)(x1+B*t)-abs(B)(-y1+abs(A)t);

下面给个很好的题的连接http://www.cnblogs.com/zzuli2sjy/p/5583123.html