矩阵存储与运算

　1.问题

　矩阵在计算机图形学中有着重要的地位，刚开始学习时很容易被矩阵乘法的先后顺序所困扰，因为这里存在很多因素，比如什么是列矩阵和行矩阵，两种矩阵在做变换时会有什么差别？什么是列优先和行优先？矢量左乘矩阵和右乘矩阵是怎么定义的？

　2.列矩阵和行矩阵

　列矩阵（column major）和行矩阵（row major）是数学上的概念，和电脑无关，它只是一套约定（convention），按照矢量和矩阵的乘法运算时，矢量是列矢还是行矢命名，这里只说4x4矩阵。齐次矢量可以看成是一个1x4的矩阵，就是行矢；或者4x1的矩阵，就是列矢。

　列矩阵变换矢量时，用矩阵乘以列矢量（M * v），如下。其中1、2、3为三个轴向矢量。
　| x1 x2 x3 xt |   | x |
　| y1 y2 y3 yt | * | y |
　| z1 y2 y3 zt |   | z |
　| 0  0  0  1  |   | w |
　列矩阵之间乘法组合时，组合顺序为从右到左。例如依次做放缩S、旋转R、平移T，则组合为T * R * S。
　行矩阵变换矢量时，用行矢量乘以矩阵（v * M），如下。其中1、2、3为三个轴向矢量。
              　| x1 y1 z1 0 |
　| x y z w | * | x2 y2 z2 0 |
             　 | x3 y3 z3 0 |
              　| xt yt zt 1 |
　行矩阵之间乘法组合时，组合顺序为从左到右。例如依次做放缩S、旋转R、平移T，则组合为S * R * T。

   3.列矩阵和行矩阵

　  列优先存储（column major storage）和行优先存储（row major storage）是计算机上的概念，指多维数组的元素在内存中的排列顺序。
　  对应到矩阵上，按内存地址顺序编号，则列优先存储的顺序为
　　| 1  5  9  13 |
　　| 2  6  10 14 |
　　| 3  7  11 15 |
　　| 4  8  12 16 |
　　行优先存储的顺序为
　　| 1  2  3  4  |
　　| 5  6  7  8  |
　　| 9  10 11 12 |
　　| 13 14 15 16 |

　 4.左乘和右乘　　

　　左乘(left multiplication, pre-multication)和右乘(right multiplication, post-multication)，这里的左右、pre/post，指的是矢量和矩阵相乘时，矢量的位置。对标量和矩阵相乘时，指标量的位置。

　　说简单点,左乘(又称前乘)就是乘在左边（即乘号前）,右乘（又称后乘）就是乘在右边（即乘号后）.
　　比如说,A左乘E即AE

　 5.Opengl和D3D中的矩阵

　 Opengl采用的是列优先，D3D采用的是行优先。

　  抛开不同底层实现的差异，我们在进行模型视图变换时，一般的顺序都是先缩放，然后旋转，最后进行平移，这样才能达到正确的变换效果。因此对于opengl，V`=T*R*S*V,但是对于D3D，V`=V*S*R*T。

　 6.OSG中的矩阵

　 osg的底层为opengl,但是在其矩阵实现时，是按照行矩阵来实现，矩阵的内部存储使用一个二维数组，这样在glLoadMatrix访问的刚好是osg的矩阵的的转置,可以这样理解这个区别：

　　对于opengl，V`=M*V，根据矩阵运算法则：V`转置 = V转置 * M转置，矢量的转置不影响我们的使用，这样我们可以在osg中把矩阵当成行矩阵对待，因此在变换顺序上为S * R * T，这样也更符合从左到右的习惯。