有上下界的网络流&费用流消圈算法
无源汇可行流
就是一个网络，每条边有一个流量的下限和上限，要求给每条边安排一个流量，使得所有点进出的流量相同。
考虑强制让下限流满，这样必定会造成点的出入流量不平衡，这个问题可以通过建源点汇点来解决。
具体做法是把每条边容量设为上限-下限的值，然后对每个点计算出流入的边的下限之和-流出的边的下限之和的值。如果这个值是正的，就从源点向它连一条容量为这个值的边，表示强制在自由流量中，出的流量比入的流量多这么多；否则向汇点连相反数的容量的边，意义类似。最后跑最大流，判断一下是否每条从源点连出去的边都流满即可。
loj有模板题。
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int mxn=65536;
int N,M,S,T,head[mxn],cur[mxn],gap[mxn],dep[mxn];
struct ed{int to,nxt,val;}edge[mxn];
void addedge(int u,int v,int w){
edge[++M]=(ed){v,head[u],w},head[u]=M;
edge[++M]=(ed){u,head[v],0},head[v]=M;
}
int dfs(int u,int mx){
if (u==T) return mx;
int num=0;
for (int &i=cur[u],v;i;i=edge[i].nxt)
if (dep[v=edge[i].to]==dep[u]-1&&edge[i].val){
int f=dfs(v,min(mx-num,edge[i].val));
edge[i].val-=f,edge[i^1].val+=f,num+=f;
if (num==mx) return num;
}
if (!--gap[dep[u]++]) dep[S]=N+1;
++gap[dep[u]],cur[u]=head[u];
return num;
}
int solve(){
gap[1]=N;
for (int i=1;i<=N;++i)
dep[i]=1,cur[i]=head[i];
int sum=0;
for (;dep[S]<=N;sum+=dfs(S,0x3f3f3f3f));
return sum;
}
int n,m,w[mxn],id[mxn],rb[mxn];
void sol(){
solve();
for (int i=head[S];i;i=edge[i].nxt)
if (edge[i].val) return (void)puts("NO");
puts("YES");
for (int i=1;i<=m;++i)
printf("%d\n",rb[i]-edge[id[i]].val);
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
N=n+2,M=1,S=n+1,T=N;
for (int i=1;i<=m;++i){
int x,y,l,r;
scanf("%d%d%d%d",&x,&y,&l,&r);
addedge(x,y,r-l);
w[x]-=l,w[y]+=l;
id[i]=M-1,rb[i]=r;
}
for (int i=1;i<=n;++i)
if (w[i]>0) addedge(S,i,w[i]);
else addedge(i,T,-w[i]);
sol();
return 0;
}
有源汇可行流
类似于上一个问题，图中有源点汇点，源点可以多流出一点，汇点可以多流入一点。
显然源点流出的量=汇点流入的量，从汇点到源点连一条容量为正无穷的边就可以转化为无源汇可行流。
有源汇最大流
相当于满足了下限，然后在自由流量上调整，使得流量最大。
所以先求出一个可行流，然后去掉加上去的那条正无穷的边，从原图的源点到汇点跑最大流即可。
loj有模板题。
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int mxn=100010,inf=0x3f3f3f3f;
int N,M,S,T,head[mxn],cur[mxn],dep[mxn],gap[mxn];
struct ed{int to,nxt,val;}edge[mxn<<1];
void addedge(int u,int v,int w){
edge[++M]=(ed){v,head[u],w},head[u]=M;
edge[++M]=(ed){u,head[v],0},head[v]=M;
}
int dfs(int u,int mx){
if (u==T) return mx;
int num=0;
for (int &i=cur[u],v;i;i=edge[i].nxt)
if (dep[v=edge[i].to]==dep[u]-1&&edge[i].val){
int f=dfs(v,min(mx-num,edge[i].val));
edge[i].val-=f,edge[i^1].val+=f,num+=f;
if (num==mx) return num;
}
if (!--gap[dep[u]++]) dep[S]=N+1;
++gap[dep[u]],cur[u]=head[u];
return num;
}
int solve(){
gap[1]=N;
for (int i=1;i<=N;++i)
dep[i]=1,cur[i]=head[i];
int sum=0;
for (;dep[S]<=N;sum+=dfs(S,inf));
return sum;
}
int n,m,s,t,w[mxn];
void sol(){
scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t);
N=n+2,M=1,S=n+1,T=N;
for (int i=1;i<=m;++i){
int x,y,l,r;
scanf("%d%d%d%d",&x,&y,&l,&r);
addedge(x,y,r-l);
w[x]-=l,w[y]+=l;
}
for (int i=1;i<=n;++i)
if (w[i]>0) addedge(S,i,w[i]);
else addedge(i,T,-w[i]);
addedge(t,s,inf);
solve();
for (int i=head[S];i;i=edge[i].nxt)
if (edge[i].val) return (void)puts("please go home to sleep");
int ans=edge[M].val;
edge[M].val=edge[M^1].val=0;
S=s,T=t;
ans+=solve();
printf("%d\n",ans);
}
int main()
{
sol();
return 0;
}
有源汇最小流
相当于要在自由网络上退回最多的流量，求出可行流，去掉那条边之后ans-=从原图汇点到源点的最大流即可。
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int rd(){
int x=0;
char c=getchar();
for (;c<48||c>57;c=getchar());
for (;c>47&&c<58;x=x*10+c-48,c=getchar());
return x;
}
const int mxn=500010,inf=2147483647;
int N,M,S,T,head[mxn],cur[mxn],dep[mxn],gap[mxn];
struct ed{int to,nxt,val;}edge[mxn<<1];
void addedge(int u,int v,int w){
edge[++M]=(ed){v,head[u],w},head[u]=M;
edge[++M]=(ed){u,head[v],0},head[v]=M;
}
int dfs(int u,int mx){
if (u==T) return mx;
int num=0;
for (int &i=cur[u],v;i;i=edge[i].nxt)
if (edge[i].val&&dep[v=edge[i].to]==dep[u]-1){
int f=dfs(v,min(mx-num,edge[i].val));
edge[i].val-=f,edge[i^1].val+=f,num+=f;
if (num==mx) return num;
}
if (!--gap[dep[u]++]) dep[S]=N+1;
++gap[dep[u]],cur[u]=head[u];
return num;
}
int solve(){
gap[1]=N;
for (int i=1;i<=N;++i)
dep[i]=1,cur[i]=head[i];
int sum=0;
for (;dep[S]<=N;sum+=dfs(S,inf));
return sum;
}
int n,m,s,t,w[mxn];
void sol(){
n=rd(),m=rd(),s=rd(),t=rd();
N=n+2,M=1,S=n+1,T=N;
for (int i=1;i<=m;++i){
int x=rd(),y=rd(),l=rd(),r=rd();
addedge(x,y,r-l);
w[x]-=l,w[y]+=l;
}
for (int i=1;i<=n;++i)
if (w[i]>0) addedge(S,i,w[i]);
else addedge(i,T,-w[i]);
addedge(t,s,inf);
solve();
for (int i=head[S];i;i=edge[i].nxt)
if (edge[i].val) return (void)puts("please go home to sleep");
int ans=edge[M].val;
edge[M].val=edge[M^1].val=0;
S=t,T=s;
ans-=solve();
printf("%d\n",ans);
}
int main()
{
sol();
return 0;
}
有源汇最小费用可行流
和有源汇可行流不是一样的吗。。。
模板提bzoj3876
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int mxn=16384,inf=0x3f3f3f3f;
int N,M,S,T,dst,sum,flw,head[mxn],dis[mxn],vis[mxn],q[mxn];
struct ed{int to,nxt,val,fee;}edge[mxn];
void addedge(int u,int v,int w,int f){
edge[++M]=(ed){v,head[u],w,f},head[u]=M;
edge[++M]=(ed){u,head[v],0,-f},head[v]=M;
}
int dfs(int u,int mx){
if (u==T) return sum+=dst*mx,mx;
int num=0;
vis[u]=1;
for (int i=head[u],v;i;i=edge[i].nxt)
if (!vis[v=edge[i].to]&&!edge[i].fee&&edge[i].val){
int f=dfs(v,min(mx-num,edge[i].val));
edge[i].val-=f,edge[i^1].val+=f,num+=f;
if (num==mx) return vis[u]=0,num;
}
return num;
}
bool bfs(){
memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
memset(vis,0,sizeof(vis));
q[1]=T,dis[T]=0;
for (int hd=0,tl=1;hd!=tl;){
int u=q[hd=hd%N+1];
vis[u]=0;
for (int i=head[u],v;i;i=edge[i].nxt)
if (dis[v=edge[i].to]>dis[u]-edge[i].fee&&edge[i^1].val){
dis[v]=dis[u]-edge[i].fee;
if (!vis[v]){
vis[v]=1;
if (hd!=tl&&dis[q[hd+1]]>dis[v]) q[hd]=v,hd=hd-1+(hd<2)*N;
else q[tl=tl%N+1]=v;
}
}
}
for (int u=1;u<=N;++u)
for (int i=head[u];i;i=edge[i].nxt)
edge[i].fee-=dis[u]-dis[edge[i].to];
dst+=dis[S];
return dis[S]<inf;
}
void solve(){
for (;bfs();flw+=dfs(S,inf));
}
int n,m,s,t,ans,w[mxn];
int main()
{
scanf("%d",&n);
s=n+1,t=n+2;
N=t+2,M=1,S=t+1,T=N;
addedge(s,1,inf,0);
for (int i=1;i<=n;++i) addedge(i,t,inf,0);
for (int i=1;i<=n;++i){
scanf("%d",&m);
for (int j=1,x,y;j<=m;++j){
scanf("%d%d",&x,&y);
addedge(i,x,inf,y);
--w[i],++w[x];
ans+=y;
}
}
for (int i=1;i<=t;++i)
if (w[i]>0) addedge(S,i,w[i],0);
else addedge(i,T,-w[i],0);
addedge(t,s,inf,0);
solve();
ans+=sum;
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
费用流消圈算法
GDSOI2019D1T4，一道上下界费用流模板题，但是。。。有负环。
基于spfa的费用流肯定是不适用的，这里介绍一种消圈求费用流的算法。
首先求出最大流，这时候原图不存在增广路，想要求出更优解，增广的过程肯定是一个负环。
所以每次找出一个负环，手动把流量修改一下就可以了。
注意判负环时找到的那一个点不一定在负环上，所以要记一个\(pre\)，每次往前跳直到跳到已经跳过的点为止。
复杂度不知道，反正很慢。
这题自己构造的数据跑了4s，不过用spfa判环应该就不会这么慢了？
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int mxn=16384,inf=0x3f3f3f3f;
int N,M,S,T,dst,sum,flw,head[mxn],cur[mxn],dep[mxn],gap[mxn];
struct ed{int to,nxt,val,fee;}edge[mxn];
void addedge(int u,int v,int w,int f){
edge[++M]=(ed){v,head[u],w,f},head[u]=M;
edge[++M]=(ed){u,head[v],0,-f},head[v]=M;
}
int dfs(int u,int mx){
if (u==T) return mx;
int num=0;
for (int &i=cur[u],v;i;i=edge[i].nxt)
if (dep[v=edge[i].to]==dep[u]-1&&edge[i].val){
int f=dfs(v,min(mx-num,edge[i].val));
edge[i].val-=f,edge[i^1].val+=f,num+=f;
if (num==mx) return num;
}
if (!--gap[dep[u]++]) dep[S]=N+1;
++gap[dep[u]],cur[u]=head[u];
return num;
}
int MaxFlow_solve(){
gap[1]=N;
for (int i=1;i<=N;++i)
dep[i]=1,cur[i]=head[i];
int flw=0;
for (;dep[S]<=N;flw+=dfs(S,inf));
return flw;
}
int dis[mxn],pre[mxn];
int check(){
memset(dis,0,sizeof(dis));
for (int i=1;i<N;++i)
for (int j=2;j<=M;++j)
if (edge[j].val){
int u=edge[j^1].to,v=edge[j].to,w=edge[j].fee;
if (dis[v]>dis[u]+w) dis[v]=dis[u]+w,pre[v]=j;
}
for (int j=2;j<=M;++j)
if (edge[j].val){
int u=edge[j^1].to,v=edge[j].to,w=edge[j].fee;
if (dis[v]>dis[u]+w) return v;
}
return 0;
}
void upd(int i){
int fl=inf;
for (int j=i;;){
fl=min(fl,edge[j].val);
j=pre[edge[j^1].to];
if (j==i) break;
}
for (int j=i;;){
edge[j].val-=fl,edge[j^1].val+=fl;
j=pre[edge[j^1].to];
if (j==i) break;
}
}
int solve(){
for (int u=check();u;u=check()){
for (;dis[u]<=0;dis[u]=1,u=edge[pre[u]^1].to);
upd(pre[u]);
}
int sum=0;
for (int i=3;i<=M;i+=2)
sum-=edge[i].val*edge[i].fee;
return sum;
}
int n,m,k,s,t,sa,sb,a[64][64];
int main()
{
freopen("in.txt","r",stdin);
scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
s=n+m+1,t=n+m+2;
N=n+m+4,M=1,S=N-1,T=N;
for (int i=1,l,r;i<=n;++i){
scanf("%d%d",&l,&r);
addedge(s,i,r-l,0);
addedge(S,i,l,0);
sa+=l;
}
for (int i=1,l,r;i<=m;++i){
scanf("%d%d",&l,&r);
addedge(n+i,t,r-l,0);
addedge(n+i,T,l,0);
sb+=l;
}
addedge(s,T,sa,0);
addedge(S,t,sb,0);
for (int i=1,x,y;i<=k;++i)
scanf("%d%d",&x,&y),a[x][y]=1;
for (int i=1;i<=n;++i)
for (int j=1;j<=m;++j)
if (!a[i][j]) addedge(i,n+j,1,1);
else addedge(i,n+j,1,-1);
addedge(t,s,inf,0);
MaxFlow_solve();
k+=solve();
printf("%d\n",k);
return 0;
}
