迷之数学题*2

bzoj3293 分金币

环形均分纸牌，求最小交换次数。

（三倍经验：1045 1465权限）

设di为每一个人应该获得/给出多少金币，设第一个人给了第n个人k个金币。

那么可以知道答案等于$\sum_{i=1}^n{|\sum_{j=1}^i{d_j}-k|}$。

于是我们只要求出中位数作为k即可。

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n;
long long sm=0,sx[2333333],dq[2333333];
long long Abs(long long x) {return (x>=0)?x:-x;}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",sx+i), sm+=sx[i];
    long long avr=sm/n;
    for(int i=1;i<=n;i++) dq[i]=dq[i-1]+avr-sx[i];
    sort(dq+1,dq+1+n);
    long long k=dq[1+n>>1];
    long long ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) ans+=Abs(k-dq[i]);
    printf("%lld\n",ans);
}

bzoj2679 Balanced Cow Subsets（权限）

给n个数a[i]。求可以分成两个和相等的集合的子集个数。n<=20。

我们考虑meet-in-the-middle折半搜索，例如我们把n分成x和n-x两份。

假设我们对于x和n-x两份分别找一个大集合，然后分别枚举子集。那么假设x这一份选的两子集为p,q，n-x这份两子集为r,s。那么p+r=q-s即p-q=-(r-s)。

所以我们只要把相反数抓出来sort一下就可以搞成一个复杂度靠谱的优秀算法了？不过似乎还有“一些”问题。

比如对于1 1 1 1这四个数分成1 1和1 1，这样我们会发现1 1 1 1这个集合被算了6次，这就比较尴尬了。

不过似乎我们可以对于每一个差把所有的子集处理出来，暴力for一发，这样就比较靠谱了。

假设你用了比较靠谱的sort+二分的做法，复杂度大概是：

3^x*log(3)*x+3^(n-x)*2^x。

我们可以发现x≈0.61n可以取得最优值，复杂度大约4kw。

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef pair<int,int> pii;
#define S 2333333
int n,m[233],s1[S],s2[S],cv[S],ff[S],sn=0;
pii st[S];
bool gg[S];
bool cmpa(pii a,pii b) {return a.first<b.first;}
void fj(int x)
{
    for(int i=0;i<n;i++) putchar(x%2+48), x/=2;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",m+i);
    for(int i=0;i<n;i++) ff[1<<i]=i;
    int x=n*0.61+0.5;
    if(x<0) x=0; if(x>n) x=n;
    int y=n-x;
    for(int i=0;i<(1<<x);i++)
    {
        int s=0,j=i;
        for(;j;j-=j&-j) s+=m[ff[j&-j]];
        s1[i]=s;
    }
    for(int i=0;i<(1<<y);i++)
    {
        int s=0,p=0,j=i;
        for(;j;j-=j&-j) s+=m[ff[j&-j]+x], p|=1<<(ff[j&-j]+x);
        s2[i]=s; cv[i]=p;
    }
    for(int i=0;i<(1<<x);i++)
    {
        for(int j=i;;j=(j-1)&i)
        {
            st[++sn]=pii(s1[i^j]-s1[j],i);
            if(!j) break;
        }
    }
    sort(st+1,st+1+sn);
    sn=unique(st+1,st+1+sn)-st-1;
    for(int i=0;i<(1<<y);i++)
    {
        for(int j=i;;j=(j-1)&i)
        {
            int a=s2[j],b=s2[i^j];
            //a-b,i
            pair<pii*,pii*> fw=equal_range(st+1,st+1+sn,pii(a-b,0),cmpa);
            for(pii* g=fw.first;g!=fw.second;g++) gg[cv[i]|g->second]=1;
            if(!j) break;
        }
    }
    int ans=-1;
    for(int i=0;i<(1<<n);i++) ans+=gg[i];
    printf("%d\n",ans);
}