范数 (Norm)

范数是一个函数，它给每个向量分配一个非负的实数值，通常被视为向量的“大小”或“长度”。在数学、特别是线性代数和函数分析中，范数被广泛使用。

范数的属性：#

1. 非负性：对于所有的向量 ( x )，范数 ( |x| ) 总是非负的。
2. 齐次性：对于所有的向量 ( x ) 和所有的标量 ( a )，范数 ( |ax| ) 等于 ( |a| \times |x| )。
3. 三角不等式：对于所有的向量 ( x ) 和 ( y )，范数的和 ( |x + y| ) 小于或等于 ( |x| ) 与 ( |y| ) 的和。
4. 正定性：范数 ( |x| ) 只在 ( x ) 为零向量时才为零。

常见的范数：#

• L1范数 (曼哈顿范数)：[ |x|_1 = \sum_i |x_i| ]
• L2范数 (欧几里得范数)：[ |x|_2 = \sqrt{\sum_i x_i^2} ]
• 无穷大范数：[ |x|_\infty = \max_i |x_i| ]

Lp范数：#

Lp范数是对于 ( p \geq 1 ) 的实数的一般化定义。对于向量 ( x )，Lp范数定义为：

[ |x|p = \left( \sum{i=1}^{n} |x_i|^p \right)^{\frac{1}{p}} ]

例如，L3范数为：

[ |x|3 = \left( \sum{i=1}^{n} |x_i|^3 \right)^{\frac{1}{3}} ]