杜教筛

今天被杜教筛折磨得有点难受，写一个笔记

前置知识

常见积性函数

主要是为了找到方便求的数论函数

分别有

• 常见积性函数：\(\varphi\),\(\mu\),\(\sigma\),\(d\)

• 常见的完全积性函数：\(\epsilon\),\(I\),\(id\)

其中\(ϵ(n)=[n=1]\),\(I(n)=1\),\(id(n)=n\)

狄利克雷卷积

对于两个数论函数\(f\)，\(g\)，狄利克雷卷积为

\[(f*g)(n)=\sum_{d|n}{f(d)g(\frac{n}{d})} \]

• 常见卷积性质：
• 1. \(\varphi*I=id\)
• 2. \(\mu*I=\epsilon\)
• 3. \(\mu*id=\varphi\)

推导过程

设我们要求的函数\(f\)的和\(\sum^{n}_{i=1}{f(i)}=S(n)\)

找到一个函数\(g\)与函数\(f\)相卷

\[\sum^{n}_{i=1}{(f*g)(i)}\\ =\sum^{n}_{i=1}\sum_{d|i}{f(d)g(\frac{i}{d})}\\ =\sum^{n}_{d=1}{g(d)}\sum^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}_{i=1}{f[i]}\\ =\sum^{n}_{d=1}{g(d)S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)} \]

导出这个过后，我们转化一下

\[\sum^{n}_{i=1}{(f*g)(i)}=\sum^{n}_{d=1}{g(d)S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)}\\ \sum^{n}_{i=1}{(f*g)(i)}={g(1)S(n)}+\sum^{n}_{d=2}{g(d)S(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)} \]

我们要求的东西是\(S\)，而由上面的可以知道，只要知道某些比\(n\)小的\(S\)就可以推出\(S(n)\)

显然我们后面的可以用数论分块做到类根号

不过，这里需要\((f*g)(i)\)和\(g(i)\)都可以快速算出，也就是预处理这个的复杂度不能大于杜教筛的复杂度