prefur序列

\(prefur\)序列给出了序列和无根树之间的一一对应关系

树转化序列

依照下面的办法可以找到序列，重复操作直到只剩下两个点：

1. 找到一个度数为1，并且编号最小的点(这个性质保证了唯一对应，原因是下面的2并且方便了还原)

2. 将这个点的父亲加入序列，然后将这个点删除

可以发现，我们这个序列长度\(n-2\)(原因是每一个数都会在他的父亲处算一次，注意其实本就没啥父亲的说法，只是感觉后加入的较晚成为叶子所以是父亲)

下面是我的看法，我其实认为这是一个按照边个数和标号双排序的序列，但是这个并不严谨，因为这里指的边个数是随时在变化的

序列转树

我们先定义一个点集，表示我们还有多少个点没放回

一开始点集为全集

我们重复下面的操作，直到只剩下两个点：

1. 取出序列最前面的点\(x\)，并从点集中删除
2. 取出在点集中但是不在序列中的最小编号点\(y\)(我们可以考虑这个就是逆运算，我们取出的最前面的点就是最早加入的点，同时叶子也是不会被记录的最小点排下来的，就像转化成子问题一样)
3. 在\(x\)，\(y\)之间连一条边

最后将剩下的两个点相连

显然这样会产生\(n-1\)条边

\(prufer\)序列的性质

这个也就是对于上面的一个应用的样子

1. \(prufer\)序列和无根树一一对应(由此我们可以得到Cayley定理)
2. 对于给定度数\(d_{1-n}\)的无根树共有\(\frac{(n-2)!}{\prod^{n}_{i=1}(d_{i}-1)!}\)种情况(证明就是考虑全排列，也是特殊的可重全排列)

实际问题

[HNOI2004]树的计数

也就是上面性质的之间使用