字符串模式匹配算法1 - BF和KMP算法
在字符串S中定位/查找某个子字符串P的操作，通常称为字符串的模式匹配，其中P称为模式串。模式匹配有多种算法，这里先总结一下BF算法和KMP算法。
注意：本文在讨论字符位置/指针/下标时，全部使用C语法，即下标从0开始。
BF算法
BF（Brute Force)算法也就是传说中的“笨办法”，是一个暴力/蛮力算法。设串S和P的长度分别为m,n，则它在最坏情况下的时间复杂度是O(m*n)。BF算法的最坏时间复杂度虽然不好，但它易于理解和编程，在实际应用中，一般还能达到近似于O(m+n)的时间度（最坏情况不是那么容易出现的，RP问题），因此，还在被大量使用。
下面举例来说明BF算法的思想。
设S=‘ababcabcacbab’， P=‘abcac’，从S的第1个字符开始，依次比较S和P中的字符，如果没有完全匹配，则从S第2个字符开始，再次比较...如此重复，直到找到P的完全匹配或者不存在匹配。用数学语言描述，就是比较SiSi+1...Si+n-1和P0P1...Pn-1，如果出现不匹配，则令i=i+1，继续这一过程，直到全部匹配，或者i>(m-n)。匹配过程如下（红色字体表示本趟比较中不匹配的字符）：
第1趟
S: a b a b c a b c a c b a b
P: a b c
第2趟
S: a b a b c a b c a c b a b
P: a
第3趟
S: a b a b c a b c a c b a b
P: a b c a c
第4趟
S: a b a b c a b c a c b a b
P: a
第5趟
S: a b a b c a b c a c b a b
P: a
第6趟
S: a b a b c a b c a c b a b
P: a b c a c
以下是实现与测试的C代码：
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <string.h> // BF (Brute Force) algorithm // worst time complexity : O(m*n) static int bf (const char*, const char*); static int bf2(const char*, const char*); int main(void) { char* str = "ababcabcacbab"; char* ptn = "abcac"; printf("match1 at %d\n", bf(str, ptn)); printf("match2 at %d\n", bf2(str, ptn)); return 0; } int bf(const char* _str, const char* _ptn) { int m, n, i, j; m = strlen(_str); n = strlen(_ptn); i = 0; j = 0; while(i<m && j<n) { if(_str[i] == _ptn[j]) { printf("OK %d %d %c %c\n", i, j, _str[i], _ptn[j]); ++i; ++j; } else { printf("NO %d %d %c %c\n", i, j, _str[i], _ptn[j]); i = i-j+1; j = 0; } } if(j >= n) return i-n; else return -1; } int bf2(const char* _str, const char* _ptn) { int m, n, i, j; m = strlen(_str); n = strlen(_ptn); i = 0; j = 0; for(i=0; i<=(m-n); ++i) { for(j=0; j<n; ++j) { if(_str[i+j] != _ptn[j]) { printf("NO %d %d %c %c\n", i+j, j, _str[i+j], _ptn[j]); break; } else printf("OK %d %d %c %c\n", i+j, j, _str[i+j], _ptn[j]); } if(n == j) return i; } return -1; }
BF算法的问题
BF算法在某些情况下存在效率上的问题。比如当S=‘aaaaaaabab’, P=‘aaab’时，BF算法匹配如下：
第1趟
S: a a a a a a a b a b
P: a a a b
第2趟
S: a a a a a a a b a b
P: a a a b
第3趟
S: a a a a a a a b a b
P: a a a b
第4趟
S: a a a a a a a b a b
P: a a a b
第5趟
S: a a a a a a a b a b
P: a a a b
若以i,j分别代表S串和P串当前比较的字符的位置/指针，那么(结合bf2函数))可以看出BF算法在每一趟匹配失败后，i,j均要回退——j回退到0，i回退到i-j+1——再继续下一趟比较（注意这里的i不是bf2函数里的i，而是相当于i+j）。而对以上特例来说，比如在第1趟比较后，S3!=P3事实上我们已经知道S1S2==‘aa’，因此不需要回退i，比较S1和P0, S2和P0，而只需回退j，比较S3和P2。这样的话，由于i没有回退，也就是减少了bf2中的外层循环次数，从而提高了匹配效率。如下图所示，图中↓表示当前指针i的位置。
↓
S: a a a a a a a b a b
P: a a a b
->
↓
S: a a a a a a a b a b
P: a a a b
->
↓
S: a a a a a a a b a b
P: a a a b
->
↓
S: a a a a a a a b a b
P: a a a b
->
↓
S: a a a a a a a b a b
P: a a a b
KMP算法
上面的改进算法就是KMP算法，它是由D.E.Knuth、J.H.Morris和V.R.Pratt同时发现的。KMP算法可以在O(m+n)的时间里完成串的模式匹配。它的主要思想是：每当一趟匹配过程中出现字符不匹配时，不需回退i指针，而是利用已经得到的“部分匹配”的结果将模式向右“滑动”尽可能远的一段距离后，继续匹配过程。
仍以一开始的例子S=‘ababcabcacbab’， P=‘abcac’来再看一遍KMP算法的匹配过程：
第1趟
↓ i=2
S: a b a b c a b c a c b a b
P: a b c
第2趟
↓ i=6
S: a b a b c a b c a c b a b
P: a b c a c
第3趟
↓ i=10
S: a b a b c a b c a c b a b
P: (a)b c a c
第1趟正常比较，S2和P2不匹配，而且发现S1!=P0，因此，第2趟比较时，就不需要比较S1和P0了，i指针保持不动，只需将j指针向右滑动1个位置，直接比较S2和P1即可；
第2趟比较时，S6和P4不匹配，而且发现S3=='b'，S4=='c'，均与P0=='a'不匹配，因此，不需要进行以S3与P0、 S4和P0比较开始的这两趟。另外，又现S5=='a'==P0，因此，也不需要回退i指针，只需将j指针向右滑动一个位置，直接比较P6与P1即可。与本文开头的BF算法相比，KMP仅外层循环就减少为3趟，大大提升了匹配效率。
把上例的讨论推广到一般情况，设主串S=‘S0S1...Sm’，模式串P='P0P1...Pn'，那么我们要解决的问题可表述为：当匹配过程中产生“失配”（即不相等)时，模式串“向右滑动”的距离应该是多少？或者说，当Si!=Pj时，Si应该和P中的哪个字符继续比较？注意，主串的字符指针i不回退。
假设此时Si应和Pk（k<j）继续比较，则k必满足以下条件，且k是满足此条件的最大值，即不存在k'(k<k'<j)也满足此条件：
P0P1...Pk-1 == Si-kSi-k+1...Si-1 (1)
此时实际已得到的“部分匹配”结果是：
Pj-kPj-k+1...Pj-1 == Si-kSi-k+1...Si-1 (2)
由（1）、（2）两式，可推得：
P0P1...Pk-1== Pj-kPj-k+1...Pj-1 (3)
反过来讲，如果在匹配过程中，有Si!=Pj，且有满足(3)式的k(k<j)存在时，则i不动，只需继续比较Si和Pk即可；如果k不存在，则继续比较Si和P0。注意，k仅与模式P有关 ，而和主串S无关。
条件(3)表达了KMP算法的精髓之一。在主串指针i不移动的情况下，我们就是根据当前模式串指针j是否存在一个满足条件（3）的k，来决定模式串“向右滑动”的距离：
a.如果存在这个k，也就是说，失配的Pj前存在一个长度为k(0<k<j)的子串，它与模式串P开头的前k个字符组成的子串相同，或者叫“重叠”。而且，这个k是满足此条件的“最大的”k，如果使用了可能的“较小的”k进行继续比较，将会出现不必要的匹配过程。
b.如果k不存在，那么就从P0开始继续比较。
要注意，如果存在k，就必须比较Pk与Si，不能比较P0与Si，否则将会出错。比如当：
S: a a a a a a a b a b
P: a a a b
此时失配的i=6,j=3, 而k=2，(k需满足0<k<j)，下趟应比较S6与P2，如果无视k的存在，去比较S6与P0，就出错了，找不到匹配：
S: a a a a a a a b a b
P: a a a b
从（3）式及其附近的表述，我们已经知道k的值与主串无关，仅与模式串本身有关，因此，我们可以把k表示为模式串位置/指针j的函数next(j)：
next(j) = Max {k | 0<k<j，且P0P1...Pk-1== Pj-kPj-k+1...Pj-1 } ，k存在时
或 = 0，k不存在时
举个例子，当P=‘abaabcac’时，其各位置的next值计算过程为：
a j=0, next(j)=0
b j=1, 满足0<k<1的整数k不存在，next(j)=0
a j=2, 子串P1 != P0，k不存在，next(j)=0
a j=3, 存在且仅存在子串P2==P0，next(j)=k=1
b j=4, 存在且仅存在子串P3==P0，next(j)=k=1
c j=5, 存在最大子串P3P4==P0P1，next(j)=k=2
a j=6, 不存在要求子串，next(j)=0
c j=7, 存在且仅存在子串P6==P0，next(j)=k=1
求得模式串的next函数后，KMP算法的匹配过程如下：
以指针i和j分别指示主串和模式串中当前要比较的字符，若在匹配过程中Si==Pj，则i和j分别增1；否则，i不变（不回退），而j回退到next(j)，继续进行比较：若匹配，则i，j分别增1，否则，j继续回退到下一个next(j)，如此类推。直到以下两种可能：
- j回退到某个next(j)时 {next(next(...next(j)...)) }，Si==Pj，则i,j分别增1；
- j退到0，即与模式串中第一个字符也不匹配，此时需要将i增1，j不变，即比较Si+1和Pj。
KMP算法代码如下：
1 int kmp(const char* _str, const char* _ptn) 2 { 3 size_t m = strlen(_str); 4 size_t n = strlen(_ptn); 5 size_t i = 0, j = 0; 6 7 size_t loop = 0; 8 9 int* next = (int*)malloc(n*sizeof(int)); 10 memset(next, 0, n*sizeof(int)); 11 //kmp_next(_ptn, next); 12 kmp_next2(_ptn, next); 13 14 for(i=0; i<n; ++i) 15 printf("%d ", next[i]); 16 printf("\n"); 17 18 i = 0; j = 0; 19 while(i < m && j < n) 20 { 21 loop++; 22 if(_str[i] == _ptn[j]) 23 { ++i; ++j; } 24 else if(0 == j) 25 ++i; 26 else 27 j = next[j]; 28 } 29 30 free(next); next = NULL; 31 32 printf("loop: %ld\n", loop); 33 34 if(j >= n) 35 return i-n; 36 else 37 return -1; 38 }
求next函数值
求next(j)的一种方法是递推法。
首先由定义可知next(0) = 0。若令next(j) = k，则模式P中存在下列关系：
P0P1...Pk-1== Pj-kPj-k+1...Pj-1 (1<k<j，且不存在k'>k满足此条件)
此时我们需要递推求得next(j+1)的值。分两种情形：
- 若Pk==Pj，则根据next函数定义，有next(j+1) == k+1 == next(j) + 1
- 若pk!=Pj，这时可以应用KMP算法的思想，并把模式串本身既看成主串，又看成模式串，那么问题就转化成一般的KMP算法问题。根据KMP算法，这时，应把第next(k)个字符与Pj进行比较。若Pj==Pnext(k) ，则next(j+1) == next(k)+1;若Pj != Pnext(k)，则继续比较Pj和Pnext(next(k)) ......依此类推，直至Pj和某个字符匹配成功。或者不存在任何k'（1<k'<k<j)可以匹配成功，则令next(j+1)=0。
求next函数值的代码如下：
1 void kmp_next(const char* _ptn, int* _next) 2 { 3 size_t n = strlen(_ptn); 4 size_t i, j; 5 6 if(n >= 1) 7 _next[0] = 0; 8 9 i = 1; j = 0; 10 while(i < n) 11 { 12 if(_ptn[i] == _ptn[j]) 13 _next[++i] = ++j; 14 else if(0 == j) 15 _next[++i] = j; 16 else 17 j = _next[j]; 18 } 19 }
next函数的改进
以上的next函数值求法对于某些情况会有一些不足。比如当S=‘aaabaaaab’，P=‘aaaab’时，进行到以下匹配：
S: a a a b a a a a b
P: a a a a b
发生失配S3!=P3。此时，如果按之前的next函数值求法，会得到next(1)==0, next(2)==1, next(3)==2，那么根据KMP算法，S3会与Pnext(3)即P2进行比较；发现不匹配，那么模式串各右滑动，S3继续与Pnext(2)即P1进行比较；发现还不匹配，继续向右滑动模式串，S3继续与Pnext(1)即P0进行比较，发现仍不匹配，没办法，才会将S串上的i指针增1，让S4与P0比较。
然而，由于P0,P1,P2和P3相等，既然S3!=P3，那么根本没必要进行接下来的比较了，i指针可以直接增1，进行下边的比较。推广到一般情况来说，就是如果这样的情况发生，我们要人为地让j的回退幅度更大，以减少不必要的比较。 根据这个发现，我们可以对next函数的递推求值算法的情形1进行优化：
若Pk==Pnext(j)==Pj时，恰满足Pk+1==Pnext(j)+1==Pj+1，那么当Pj+1失配时，不需要比较Pnext(j)+1和Pj+1，即next(j+1)不用取next(j)+1，而可以将模式串中要比较的位置再向左移，到next(j+1) = next(next(j+1))。
正如上图所示，由于Pj+1==Pk+1,next(j+1)的值可以跨过k+1，而直接到k'==next(k+1)，即next(j+1) = next(k+1) == next(next(j+1))。
改进后的next函数代码如下：
1 void kmp_next2(const char* _ptn, int* _next) 2 { 3 size_t n = strlen(_ptn); 4 size_t i, j; 5 6 if(n >= 1) 7 _next[0] = 0; 8 9 i = 1; j = 0; 10 while(i < n) 11 { 12 if(_ptn[i] == _ptn[j]) 13 { 14 ++i; ++j; 15 if(_ptn[i] != _ptn[j]) 16 _next[i] = j; 17 else 18 _next[i] = _next[j]; 19 } 20 else if(0 == j) 21 _next[++i] = j; 22 else 23 j = _next[j]; 24 } 25 }
【参考资料】
《数据结构（C语言版）》，严蔚敏 吴伟民 编著，清华大学出版社。
