vijos 1046 floyd求最小环

// 转自vijos题解

最小环问题
<1>朴素的算法：
令e(u,v)表示u和v之间的连边，再令min(u,v)表示，删除u和v之间的连边之后，u和v之间的最短路
最小环则是min(u,v) + e(u,v)，时间复杂度是EV2。
<2>改进的方法：
在floyd的同时，顺便算出最小环
g[i][j]=(i,j之间的边长)
dist:=g;
for k:=1 to n do
begin
for i:=1 to k-1 do
for j:=i+1 to k-1 do
answer:=min(answer,dist[i][j]+g[i][k]+g[k][j]);
for i:=1 to n do
for j:=1 to n do
dist[i][j]:=min(dist[i][j],dist[i][k]+dist[k][j]);
end;
关于算法<2>的证明：
一个环中的最大结点为k(编号最大)，与他相连的两个点为i,j，这个环的最短长度为g[i][k]+g[k][j]+i到j的路径中,所有结点编号都小于k的最短路径长度
根据floyd的原理，在最外层循环做了k-1次之后，dist[i][j]则代表了i到j的路径中，所有结点编号都小于k的最短路径
综上所述，该算法一定能找到图中最小环。

 

 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define inf 99999999
int e[105][105];
int dist[105][105];
int floyd(int n)
{
int minn=inf,i,j,k;
for(k=1;k<=n;++k)
{
for(i=1;i<k;++i)
for(j=1;j<i;++j)
minn=min(minn,dist[i][j]+e[i][k]+e[k][j]);

for(i=1;i<=n;++i)
for(j=1;j<=n;++j)
dist[i][j]=min(dist[i][j],dist[i][k]+dist[k][j]);
}
return minn;
}
int main()
{
int n,m,i,j,k;
while(cin>>n>>m){
for(i=1;i<=n;++i)
for(j=1;j<=n;++j)
if(i==j) e[i][i]=dist[i][i]=0;
else e[i][j]=dist[i][j]=inf;
for(i=1;i<=m;++i){
int a,b,c;
cin>>a>>b>>c;
//if(e[a][b]>c)
e[a][b]=e[b][a]=c,
dist[a][b]=dist[b][a]=c;

}
int w=floyd(n);
if(w==inf)
cout<<"No solution."<<endl;
else cout<<w<<endl;
}
return 0;
}