数论六·模线性方程组
小Ho：今天我听到一个挺有意思的故事！
小Hi：什么故事啊？
小Ho：说秦末，刘邦的将军韩信带领1500名士兵经历了一场战斗，战死四百余人。韩信为了清点人数让士兵站成三人一排，多出来两人；站成五人一排，多出来四人；站成七人一排，多出来六人。韩信立刻就知道了剩余人数为1049人。
小Hi：韩信点兵嘛，这个故事很有名的。
小Ho：我觉得这里面一定有什么巧妙的计算方法！不然韩信不可能这么快计算出来。
小Hi：那我们不妨将这个故事的数学模型提取出来看看？
小Ho：好！
<小Ho稍微思考了一下>
小Ho：韩信是为了计算的是士兵的人数，那么我们设这个人数为x。三人成排，五人成排，七人成排，即x mod 3, x mod 5, x mod 7。也就是说我们可以列出一组方程：
x mod 3 = 2 x mod 5 = 4 x mod 7 = 6
韩信就是根据这个方程组，解出了x的值。
小Hi：嗯，就是这样！我们将这个方程组推广到一般形式：给定了n组除数m[i]和余数r[i]，通过这n组(m[i],r[i])求解一个x，使得x mod m[i] = r[i]。
小Ho：我怎么感觉这个方程组有固定的解法？
小Hi：这个方程组被称为模线性方程组。它确实有固定的解决方法。不过在我告诉你解法之前，你不如先自己想想怎么求解如何？
小Ho：好啊，让我先试试啊！
输入
第1行：1个正整数, N，2≤N≤1,000。
第2..N+1行：2个正整数, 第i+1行表示第i组m,r，2≤m≤20,000,000，0≤r<m。
计算过程中尽量使用64位整型。
输出
第1行：1个整数，表示满足要求的最小X，若无解输出-1。答案范围在64位整型内。
- 样例输入
-
3 3 2 5 3 7 2
- 样例输出
-
23
思路{
嗯。中国剩余定理果题。。。
}1 #include<algorithm> 2 #include<iostream> 3 #include<cstring> 4 #include<cstdio> 5 #include<vector> 6 #include<queue> 7 #include<ctime> 8 #include<cmath> 9 #include<map> 10 #include<set> 11 #define MAXX 1001 12 #define LL long long 13 using namespace std; 14 LL m[MAXX],r[MAXX],n; 15 LL gcd(LL a,LL b){return !b?a:gcd(b,a%b);} 16 void exgcd(LL a,LL b,LL&x,LL&y){if(!b)x=1,y=0;else exgcd(b,a%b,y,x),y-=(a/b)*x;} 17 int main(){ 18 scanf("%lld",&n); 19 for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%lld%lld",&m[i],&r[i]); 20 LL k1,k2,c,R=r[1],M=m[1],gg; 21 for(int i=2;i<=n;++i){ 22 gg=gcd(M,m[i]);c=r[i]-R; 23 if(c%gg)printf("-1"),exit(0); 24 exgcd(M/gg,m[i]/gg,k1,k2); 25 k1=(c/gg*k1)%(m[i]/gg); 26 R=M*k1+R;M=(M/gg)*m[i]; 27 R%=M; 28 }while(R<0)R+=M; 29 printf("%lld",R); 30 return 0; 31 }
