匈牙利算法

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匈牙利算法：一个例子

我们考虑一个例子，其中四个工作（W1，W2，W3和W4）需要执行四个作业（J1，J2，J3和J4），每个工作一个作业。下面的矩阵显示了将某个工人分配给某个工作的成本。目标是最小化任务的总成本。

	J1	J2	J3	J4
W1	82	83	69	92
W2	77	37	49	92
W3	11	69	5	86
W4	8	9	98	23

下面我们将使用这个例子解释匈牙利算法。

第1步：减去行最小值

我们首先从每行中减去行最小值。例如，第一行中的最小元素是69.因此，我们从第一行中的每个元素中减去69。得到的矩阵是：

	J1	J2	J3	J4
W1	13	14	0	23	（-69）
W2	40	0	12	55	（-37）
W3	6	64	0	81	（-5）
W4	0	1	90	15	（-8）

第2步：减去列最小值

同样，我们从每列中减去列最小值，给出以下矩阵：

	J1	J2	J3	J4
W1	13	14	0	8
W2	40	0	12	40
W3	6	64	0	66
W4	0	1	90	0
				（-15）

第3步：用最少的行数覆盖全零

我们现在将确定覆盖矩阵中所有零所需的最小行数（水平或垂直）。可以使用3行覆盖所有零：

	J1	J2	J3	J4
W1	13	14	0	8
W2	40	0	12	40	X
W3	6	64	0	66
W4	0	1	90	0	X
			X

因为所需的行数（3）低于矩阵的大小（n = 4），所以继续步骤4。

第4步：创建其他零

首先，我们发现最小的未覆盖数是6.我们从所有未覆盖的元素中减去这个数字，并将其添加到所有被覆盖两次的元素中。这导致以下矩阵：

	J1	J2	J3	J4
W1	7	8	0	2
W2	40	0	18	40
W3	0	58	0	60
W4	0	1	96	0

现在我们回到第3步。

第3步：用最少的行数覆盖全零

同样，我们确定覆盖矩阵中所有零所需的最小行数。现在需要4行：

	J1	J2	J3	J4
W1	7	8	0	2	X
W2	40	0	18	40	X
W3	0	58	0	60	X
W4	0	1	96	0	X

因为所需的行数（4）等于矩阵的大小（n = 4），所以矩阵中的零之间存在最佳分配。因此，算法停止。

最佳分配

以下零点包含最佳分配：

	J1	J2	J3	J4
W1	7	8	0	2
W2	40	0	18	40
W3	0	58	0	60
W4	0	1	96	0

这对应于原始成本矩阵中的以下最佳分配：

	J1	J2	J3	J4
W1	82	83	69	92
W2	77	37	49	92
W3	11	69	五	86
W4	8	9	98	23

因此，工人1应该执行工作3，工人2工作2，工人3工作1，工人4应该执行工作4.该最佳分配的总成本是69 + 37 + 11 + 23 = 140