java实现最通俗易懂的01背包问题

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这几天一直在想背包问题，昨天还有个学长专门讲了，但是还是不是很理解，今天我终于想通了背包问题，其实只要理解了这个思路，不管用什么语言，肯定是能编出来的。下面我就来介绍一下背包问题。

1.题目描述:

有如下5种物品，小明的书包最多只能装下8公斤的物品，小明特别贪心，思考怎么选择使自己书包能装下并且得到的价值最大。

物品1:6公斤　　   价值48元
物品2:1公斤  　　价值7元
物品3:5公斤  　　价值40元
物品4:2公斤　　价值12元
物品5:1公斤  　　价值8元

2.解题思路:

其实我们正常思维，一般会想，我要尽量装满8公斤，把最大的价值求出来，可是这样的话，就需要用到递归，递归能解出来，只是算法难度高。但是什么是动态规划，动态规划就是逆着来，我要求装8公斤的物品怎么装使得价值最大。我可以先考虑装0公斤，最大价值，再考虑装1公斤最大价值，考虑装2公斤最大价值，装3公斤最大价值，把前面都记录下来。用另外一个temp[i][j]数组记录下来。i呢表示我现在出现的物品的数量，当i循环到最后一个数量的时候就结束了嘛。自己想象一下，我虽然有5件物品，先只给你一件，你判断能不能装下，能装下，那么你就看你装下这件物品，和不装下这件物品哪个价值高，那么记录下来即可。具体填下下面的表试下，真正会填表就差不多了

      0  1  2  3  4  5   6    7    8
      0  0  0  0  0  0   0    0    0
48  0  0  0  0  0  0   48  48   48
7   0  7  7  7  7  7   48  55   55
40  0  7  7  7  7  40  48  55   55
12  0  7  12 19 19 40  48  55   60
8   0  8  15 20 27 40  48  56   63 

这个表是怎么来的呢?，举个例子，当我横着一排一排填，因为最开始只掉一件物品，开始掉重量是6的物品，到6的时候就能装下了，所以temp[1][6]=48，另外7,8也只有这一件物品填。所以还是一样的。

接下来掉第二个物品，掉下1这个物品了，1的价值是7，也就是temp[2][1] = 7。后面一直到temp[2][5]都是等于7。重点重点来了，到了temp[2][6]的时候怎么办呢?我们的当然一看就是，我要选第一件物品，它的价值是48，可是选了第一件物品，背包就满了，就不能装第二件重量为1的物品了，所以temp[2][6] = 48。

我们人可以这样思考，关键就来了，关键就是怎么让计算机也可以这样思考呢，我们就需要用代码。其实仔细想想，我掉第二件物品了，判断如果不能装下，那么temp[2][j] = temp[2][j-1] //记住j表示的是我背包现在最大只能装j这么多，那既然这个物品装不下，那么当然不能装了。如果我当前物品重量小于j，那么我就可以选择是装还是不装呢？只要比较装还是不装哪个价值大就行了。如果不装的话价值这个时候的最大价值是不会变的，因为都不装嘛，也就是，temp[2][j] = temp[2-1][j] 。如果我装的话，关键是这个，还是到刚才的到第二件物品的价值为6的时候考虑，如果我装下重量1这个物品，temp[2][6] = temp[2-1][6 - 这个物品的重量] + 物品的价值 //

其实我 temp[2-1][6-这个物品重量]表示我还没装这个物品之前的价值腾出装这个物品的空间，然后加上这个物品的价值进行比较。关键是之前的每一个状态都用数组给记录下来了。关键代码先看一下，结合代码再理解

for(int i=1;i<6;i++) { 
    for(int j=1;j<9;j++) {
        if(w[i]<=j) {
            temp[i][j] = Math.max(temp[i-1][j], temp[i-1][j-w[i]]+v[i]); //其实就是比较物品选还是不选哪种价值大。
        }else {
            temp[i][j] = temp[i-1][j];//第i件物品不能放
        }
    }
}

这个理解了，相信你自己也能编出这段代码来了。

3.代码示例

package 背包问题;
 
import java.util.Scanner;
 
/*
 * 
最多可以放8公斤的物品
物品1:6公斤   价值48元
物品2:1公斤   价值7元
物品3:5公斤   价值40元
物品4:2公斤   价值12元
物品5:1公斤   价值8元
 
      0  1  2  3  4  5   6    7    8
      0  0  0  0  0  0   0    0    0
6 48  0  0  0  0  0  0   48  48   48
1 7   0  7  7  7  7  7   48  55   55
5 40  0  7  7  7  7  40  48  55   55
2 12  0  7  12 19 19 40  48  55   60
1 8   0  8  15 20 27 40  48  56   63 
        
 */
public class Test01 {
    public static void main(String[] args) {
        //定义一个数组a[i][j] = a[i]                 i表示当前物品的序号选上，j表示这个位置能得到的最大值
        //选或者不选动态规划
        Scanner scn = new Scanner(System.in);
        int [] w = new int[6];//表示每件物品的重量
        int [] v = new int[6];//表示每件物品的价值
        for(int i=1;i<6;i++) {
            w[i] = scn.nextInt();//输入重量
            v[i] = scn.nextInt();//输入价值
        }
         
        int [][] temp = new int[6][9];   //8表示背包最多能放8公斤的重量
        for(int j=0;j<9;j++) {  //初始化每一行
            temp[0][j] = 0;
        }
        for(int i=1;i<6;i++) {  //背包的重量为0的时候，最大价值肯定是0
            temp[i][0] = 0;
        }
         
        for(int i=1;i<6;i++) {  //从第一个物品开始选，记录我选了前面出现的物品，背包重量从1-8的能选上的最大的值
            for(int j=1;j<9;j++) { //当i循环到最后一层5的时候，也就是得到了，我5件物品都选上的时候的最大的值
                if(w[i]<=j) { //重量比这个状态小，那么就能放。 那么就只是放与不放，看是放重量大，还是不放重量大
                    temp[i][j] = Math.max(temp[i-1][j], temp[i-1][j-w[i]]+v[i]);
                }else {
                    temp[i][j] = temp[i-1][j];//第i件物品不能放
                }
            }
        }
        for(int i=0;i<6;i++) {
            for(int j=0;j<9;j++) {
                System.out.printf("%-5d",temp[i][j]);
            }
            System.out.println();
        }
    }
}