Codeforces 1295D Same GCDs (欧拉函数)

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题意：

给两个整数a,m \(( 1 \le a < m \le 10^{10} ).\)
问有多少个x满足 \(0 \le x < m ,\gcd(a, m) = \gcd(a + x, m) .\)
输出满足上式x的个数

思路：

令p=\(\gcd(a, m)\),
\(0 \le x < m ,\gcd(a, m) = \gcd(a + x, m) .\)相等的个数等于\(1 \le x <= m ,\gcd(a, m) = \gcd( x, m) .\)
证明：前提\(\gcd(a,b) = \gcd(b,a mod b)\)
\(0 \le x < m ,\gcd(a, m) = \gcd(a + x, m) .\)即\(a \le k < a+m ,\gcd(a, m) = \gcd(k, m) .\)
[a,a+m),可分成[a,m],[m+1,a+m)
根据前提：[m+1,a+m)和[1,a)的gcd个数应该相等
所以k\(\in\)[a,a+m),\(gcd(k,m)==gcd(a,m)\)即k\(\in\)[1,m],\(gcd(k,m)==gcd(a,m)\)的个数
然后即求\(1 \le k <= m ,\gcd(k/p,m/p)==1\)，很明显该值为m/p欧拉函数的值，直接用欧拉函数的模版求即可,O(\(sqrt(n)\))

代码：

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include <string.h>
#include <vector>
#include <math.h>
#include <map>
#include <queue>
#include <set>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e5+50;
ll gcd(ll a,ll b){
    return b?gcd(b,a%b):a;
}
void solve(ll m){
    ll ans=m;
    for(ll i=2;i*i<=m;i++){
        if(m%i==0){
            ans-=(ans/i);
            while(m%i==0)m/=i;
        }
    }
    if(m>1)ans-=ans/m;
    printf("%lld\n",ans);
}
int main()
{
    int t;
    ll m,a;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%lld %lld",&a,&m);
        ll p=gcd(a,m);
        m/=p;
        solve(m);
    }
    return 0;
}