NOI2020训练题3 B 最小公倍数

题目描述：
从\(1\)到\(nc\)这\(nc\)个数字中删除\(n\)个，使得剩下\(nc−n\)个数字。对于这些数字中任意两个不同的数都有一个最小公倍数，请你合理删除这\(n\)个数字，使得这些最小公倍数中，最小的那个最大。

输入格式：
输入文件的第一行是一个正整数\(T\)，表示数据组数。接下来T行每行有两个正整数\(n,c\)，意义如题目所示。

输出格式：
输出\(T\)行正整数，每行有一个答案表示最大的最小\(lcm\)的值。

样例输入：

2
2 2
3 2

样例输出：

12
12

样例解释与说明：
在第一组数据中，删去1,2这两个数字，剩下3,4这两个数字。在第二组数据中，删去1,2,6这三个数字，剩下3,4,5这三个数字。

数据范围：

    对于10%的数据，nc≤16,1≤T≤100.

    对于另外20%的数据，n=1,1≤T≤100.

    对于另外20%的数据，T=1.

    对于另外30%的数据，1≤T≤1000.

    对于100%的数据，T≤10^6,1≤n≤10^6,2≤c≤10^6,保证nc−n>1.

时间限制：1s

空间限制：256MB

\(n = 1\)

首先考虑\(n=1\),只能删去一个数。

若不删\(1\)，删\(2\)，答案为\(3\)。

若删\(x(x \geq 3)\)，答案为\(2\)。

答案只可能为\(2\)或\(3\)。

若删\(1\)，若\(c = 3\)，则剩下\(2,3\)，答案为\(6\)。

若\(c > 3\)，则剩下\(2,3,4, \dots\)，答案为\(4\)。

\(c \geq 3\)

考虑 \(c \geq 3\)

把每\(n\)个数当成一个集合，记为\(S_1,S_2,\dots,S_c\)

若\(S_1\)集合内的数不删光，任取\(x \in S_1\),\(2^k * x( k \in Z) \in S_2\)

此时\(lcm = 2^k *x \in S_2\)，即\(lcm_{ans} \in S_2\)

但是删光了\(S_1\)中的数后，任意两个\(S_2\)中的数的\(lcm\)一定不在\(S_2\)中，因此\(lcm_{ans} > 2n\)

所以删去\(1 \sim n\)为最佳。

考虑\(lcm(a,b)(a \leq b)\)的计算,\(lcm(a,b) = a * (\frac{b}{\gcd(a,b)})\)，显然我们要使\(t = \frac{b}{\gcd(a,b)}\)最小，因为\(t >1\)，所以\(t = 2\)时最小，显然\(b = 2a\)时，\(t = 2\)。

\(c \geq 3\)时，\(b = 2a\)是可以取到的，\(a = n + 1, b = 2*(n + 1)\)即为所求，\(lcm = 2 * (n + 1)\)

\(c = 2\)

在\(c=2\)时，\(b = 2a\)是取不到的，我们考虑\(d = b/a\)，\(lcm(a,d * a) = ?\)

首先\(1 < d < 2\)，然后令\(d = p/q \ (\gcd(p,q) = 1,p,q\in Z)\),\(lcm(a,d*a) = p * a\)

我们要使\(p\)尽量小，\(p = 3, q = 2\)为最小解。

选取$n + 1 \sim 2 * n $中最小的\(2\)的倍数，乘\(3\)即可。

但是\(n = 4\)时，\(6 * \frac{3}{2} = 9 > 8\)不行，所以特判。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

long long n,c;

int main(){
    int T; scanf("%d",&T);
    while(T --){
        scanf("%lld%lld",&n,&c);
        if(n == 1){
            if(c == 3) printf("6\n");
            else printf("4\n");
            continue;
        }
        if(c == 2){
            if(n & 1) printf("%lld\n",(n + 1) * 3ll);
            else if(n == 4) printf("24\n");
            else printf("%lld\n",(n + 2) * 3ll); 
            continue;
        }
        if(c > 2){
            printf("%lld\n",(n + 1) * 2ll);
            continue;
        }
    }
    return 0;
}