F - Problem of Precision

HDU - 2256

神仙题，完全没想到。

朴素想法，我们开4*4的矩阵，分别记录\(\sqrt{2}\),\(\sqrt{3}\),\(\sqrt{6}\),\(1\)的系数，然后快速幂。

但是我们没法对系数取模，因此不能确定整数部分。

再分析一下，题目让我们求\((\sqrt{2} + \sqrt{3})^{2n}\),那不就是\((5 + 2\sqrt{6})^{n}\)吗，这成功减少了一个无理数，我们继续用刚才的方法。

虽然依旧不能算出答案，但是矩阵只要2*2了。

接下来就是我不会的东西了

考虑上面的矩阵，我们可以利用它来求得准确解\(a+b\sqrt{6}\)，其中\(a\)可以准确知道，并在计算过程中取模

采用数学方法消去\(b\sqrt{6}\),我们构造\((5-2\sqrt{6})^n\),其准确值为\(a-b\sqrt{6}\)

\((5+2\sqrt{6})^n + (5-2\sqrt{6})^n = a+b\sqrt{6}+a-b\sqrt{6}=2a\)

因为\(0 < 5-2\sqrt{6} < 1\),所以\(0 < (5-2\sqrt{6})^n < 1\)

令\(t = (5-2\sqrt{6})^n\)，\(\lfloor (5+2\sqrt{6})^n \rfloor = \lfloor 2a - t \rfloor = 2a - 1\)

利用矩阵乘法计算\(a\)即可

其实可以类似复数定义一种数为\(x+y\sqrt{6}\),直接算乘法。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int mod =  1024;

struct node{
    long long a,b;
};
node operator * (node x,node y){
    node c; 
    c.a = (x.a * y.a % mod + x.b * y.b % mod * 6 % mod ) % mod;
    c.b = (x.a * y.b % mod + x.b * y.a % mod ) % mod;
    return c;
}
node ksm(node x,int y){
    node z; z.a = 1; z.b = 0;
    while(y){
        if(y & 1) z = z * x;
        y >>= 1;
        x = x * x;
    }
    return z;
}

int main(){
    int T; scanf("%d",&T);
    while(T --){
        int n; scanf("%d",&n);
        node x; x.a = 5; x.b = 2;
        node y; y.a = 5; y.b = -2;
        x = ksm(x,n); y = ksm(y,n);
        long long ans = (x.a + y.a) % mod;
        ans = (ans - 1 + mod) % mod;
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}