H - Leftmost Ball

AT原题

以前做过，现在来整理思路

因为白球是一种特殊的球只会存在于一种颜色所有球的最前面，所以我们考虑把白球和其他球分开来

\(dp[i][j]\)表示我们已经放置了\(i\)个白球和\(j\)种颜色的球的方案数，显然必须满足\(j \leq i\)

转移有两种
1.上一次放了一个白球
2.上一次放了一种颜色的球，即放了\(k-1\)个相同颜色的球

放白球必须尽量靠前，为了避免重复，我们把白球放在第一个空位上。
如果不是在第一个空位上，而是在任意空位上，则有可能导致某个白球不是某种颜色球的第一个，
而且在DP时不同时候放的白球可能会导致最终结果重复。

放白球的贡献为\(dp[i-1][j]\)

放有颜色的球，首先要从\(n - j + 1\)种颜色中选一个
然后我们剩下了\(n * k - i - (j - 1)*(k - 1)\)个空位，我们需要从中选\(k - 1\)个空位放我们的球，
但是贡献并不是\(C_{n * k - i - (j - 1)*(k - 1)}^{k-1}\),而是\(C_{n * k - i - (j - 1)*(k - 1)-1}^{k-2}\)
原因还是重复，如果我们不取出一个球，把第一个空位占掉，那么对于任意两次放有颜色球的操作，其结果可能是一样的，但是计算会重复
假设一下，我有四个空位，每次放两个有颜色的球，一共放两次。
第一次，选红色， 放2，3位; 第二次，选蓝色，放1，4位
和
第一次，选蓝色， 放1，4位; 第二次，选红色，放2，3位
是一样的，这就是不把第一个空位占掉导致的重复

贡献为\((n - j + 1) * C_{n * k - i - (j - 1)*(k - 1)-1}^{k-2}\)

注意k=1!!!

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long

const int mod = 1e9 + 7;

int n,k;
int dp[2050][2050];

int fac[4000050],inv[4000050];
int ksm(int x,int y){
    int z = 1;
    while(y){
        if(y & 1) z = z * x % mod;
        y >>= 1;
        x = x * x % mod;
    }
    return z;
}
int C(int n,int m){
    if(n < m || m < 0) return 0;
    if(n == m || m == 0) return 1;
    return (fac[n] * inv[m] % mod) * inv[n - m] % mod;
}

signed main(){
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    
    fac[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= 4000000; ++ i) fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
    inv[4000000] = ksm(fac[4000000],mod - 2);
    for(int i = 3999999; i >= 0; -- i) inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % mod;
    
    if(k == 1) { puts("1"); return 0; } 
    
    dp[0][0] = 1;
    for(int i = 1; i <= n; ++ i){
        dp[i][0] = 1;
        for(int j = 1; j <= i; ++ j){
            dp[i][j] = (dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] * C(n * k - i - (j - 1) * (k - 1) - 1, k - 2) % mod * (n - j + 1) % mod ) % mod; 
        }
    }
    
    printf("%lld\n",dp[n][n]);
    return 0;
}