状压DP

 [SCOI2005]互不侵犯

在N×N的棋盘里面放K个国王，使他们互不攻击，共有多少种摆放方案。

  国王能攻击到它上下左右，以及左上左下右上右下八个方向上附近的各一个格子，共8个格子。

输入格式：

只有一行，包含两个数n，m （ 1 <=n <=9, 0 <= m<= N * N）

输出格式：

所得的方案数

 

初学者很天真地想写爆搜，但总感觉不妥，然后就听说这是状压DP……

这怎么DP呀，要记录上一行是什么样吗？如何记录这么多状态？

这就是状态压缩要解决的问题。

对于每一行我们考虑用bool数组记录每一格的情况，1表示有，0表示没有，例如：10010101，表示第一，四，六，八格有国王。

那么我们可以发现这个东西可以看做一个8位二进制数149，别告诉我149存不下。

所以我们就可以将一行的状态压缩成一个二进制数，而处理这些状态就显然需要用位运算了。

关于基础的位运算我们就不在赘述，这里介绍几个状压DP中常用的操作。

S&(1<<i):判断第i位的情况，是0还是1.拿这道题来说就是状态S的第i格是不是有了国王。（需要注意的是i是从右往左数的）

S|(1<<i):将S的第i位设置为1，往i这一位放上国王。

S|~(1<<i):将S的第i位设置为0，往i这一位拿下国王（虽然这里不用）

S1&S2：判断S1和S2是否有交集（对于某一位或几位i，有S1[i]==S2[i]==1），这里可以判断上下两行的国王会不会冲突。

S1&(S2<<1)：将S2左移一位再进行按位与，此时S1和S2是错位的，就可以用来判断右上和左下的冲突。

S1&(S2>>1)：同上，判断左上和右下的冲突。

注：弄不清运算符优先级的同学们一定要多加括号。

 

科普完我们就该讲一下这道题的思路了(^_^)，我们令f[i][j][k]，表示第i行，状态为j且前i行已放置k个国王的方案数。

那么显然f[i][j][k]=∑f[i-1][j′][k′]

其中k=k'+状态j的国王数。

最终ans=Σf[n][i][m]

我们可以预处理出所有状态以及该状态的国王数。

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,m;
long long f[10][150][150],ans;
int num[150],s[150],total;
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=0;i<(1<<n);i++)
    {
        if(i&(i<<1))continue;//检查当前状态是否冲突 
        int k=0;
        for(int j=0;j<n;j++)
        if(i&(1<<j))//数一数这个状态需要多少国王 
        k++;
        s[++total]=i;//记录状态 
        num[total]=k;//国王个数 
    }
    f[0][1][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=total;j++)
    for(int k=0;k<=m;k++)
    if(k>=num[j])
    for(int t=1;t<=total;t++)//第i-1行可能是什么 
    if(!(s[t]&s[j])&&!(s[t]&(s[j]<<1))&&!(s[t]&(s[j]>>1)))//上下无冲突。 
    f[i][j][k]+=f[i-1][t][k-num[j]];
    for(int i=1;i<=total;i++)
    ans+=f[n][i][m];
    cout<<ans;
}

 请原谅本蒟蒻现学现卖QWQ

 

然后我又找来了另一道题：

[USACO06NOV]玉米田Corn Fields

 

貌似也是一道裸题，那不妨我们就用这道题来总结套路：

令f[i][j]，表示第i行j种状态的方案数。

首先预处理每一行可能的状态，我们要保证左右不重复，且不能种在贫瘠的土地上。

对于每一行i的每一种状态j，考虑前一行的每种状态k，若不冲突，则令f[i][j]+=f[i-1][k].

最终统计所有f[n],（习惯上令n表示行数，m表示列数）

这就是刚学习状压的蒟蒻的感受：

先预处理状态，对于每种状态考虑是否与前一状态重复并递推答案。最后统计终点的所有状态的答案之和。

 

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int mod=100000000;
int n,m,f[20][1<<20];
struct cym{
    int s[1<<20],num;
}a[15];
void find(int S,int now)
{
    int total=0;
    for(int i=0;i<(1<<m);i++)
    if(!(i&(i<<1))&&!(i&(i>>1))&&!(i&S))//我们可以用左右移与自身匹配来判断左右冲突。 
    a[now].s[++total]=i;//now来表示土地情况，状态不与now冲突。 
    a[now].num=total;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int now=0;
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            int x;
            scanf("%d",&x);
            now=(now<<1|1)-x;
        }
        find(now,i);
    }
    for(int i=1;i<=a[1].num;i++)
    f[1][i]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=a[i].num;j++)
    for(int k=1;k<=a[i-1].num;k++)
    if(!(a[i].s[j]&a[i-1].s[k]))//与前一状态是否冲突 
    {
        f[i][j]+=f[i-1][k];
        f[i][j]%=mod;
    }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=a[n].num;i++)
    ans=(ans+f[n][i])%mod;
    printf("%d",ans);
}