欧拉路总结

被迫营业。

其实这篇东西并没有多大意义，只是写了一些提高组以下能用到的东西，因为这个是营业要求……

等我有时间了会去研究一下2018的国家集训队论文《欧拉图相关的生成与计数问题探究》再来补充。

一些定义

• 欧拉路径：经过图 \(\mathcal{G}\) 中所有边恰好一次的路径。（可以当做一笔画）。

• 欧拉回路：一条路径是回路且是欧拉路径。（起终点相同）

• 欧拉图：存在欧拉回路的图。

• 半欧拉图：存在 欧拉路径 但是 不存在 欧拉回路 的图。

判定

以下图默认联通

• 无向欧拉图：一张无向图是欧拉图 当且仅当 这张图中不存在度数为奇数的点。

简要证明：一条回路是由若干个环并起来的，那么点度显然是偶数。

• 无向半欧拉图：一张无向图是半欧拉图 当且仅当 这张图中度数为奇数的点为 0 个或 2 个。

证明可以简单归纳，不断加边。

• 有向欧拉图：一张有向图是欧拉图 当且仅当 这张图中所有点处于一个强联通分量内，并且每个点入度等于出度。

证明同无向欧拉图

• 有向半欧拉图：一张有向图是半欧拉图 当且仅当

  • 所有有向边退化成无向边时，全图联通。

  • 所有点入度等于出度；或者存在恰好两个点，一个 入度减出度为 1，一个 出度减入度为 1，其余点入度等于出度。

例题

• uoj #117. 欧拉回路

模板题，要求对于有向图或者无向图求欧拉回路。求欧拉路时，首先判掉不存在欧拉路的情况，然后就可以直接 dfs 了，因为每一条出边必然对应着一个合法的路径，直接走即可。AC link

• P1341 无序字母对 P2731 [USACO3.3]骑马修栅栏 Riding the Fences

无向图字典序最小欧拉路。按照出边字典序排序后 dfs 即可。

• XJ 校内训练题【外校人员可能无权限】

行向列连边，发现存在欧拉回路即为 Possible。

参考资料

oi-wiki