P5162 WD与积木

P5162 WD与积木

略加思考，对于每一层的积木，生成函数应该是（注意有标号，设 \(\rm EGF\)）

\[F(x)=\sum_{i=1}\dfrac{x^i}{i!}=e^x-1 \]

而一个 \(i\) 层的东西就是 \(F^i(x)\) 。

总方案数就是

\[G(x)=\sum_{i=0} F^i(x)=\dfrac{1}{1-F(x)}=\dfrac{1}{2-e^x} \]

而总的贡献，也就是层数乘方案数

\[H(x)=\sum_{i=1}iF^i(x) \]

是一个经典的等差乘等比的形式。

\[S=\sum_{i=1}ix^i\\ xS=\sum_{i=2}ix^{i+1}\\ (1-x)S=\sum_{i=1}x^i\\ S=\dfrac{\sum\limits_{i=1}x^i}{1-x} \]

所以

\[H(x)=\dfrac{\dfrac{F(x)}{1-F(x)}}{1-F(x)}=\dfrac{F(x)}{(1-F(x))^2}=\dfrac{e^x-1}{(2-e^x)^2} \]

把两个东西都求出来，除一下输出就好了。

由于有标号，别忘了乘阶乘。然而由于分子分母都得乘所以直接约掉了，也就不用乘了。

诶，我居然 \(30min\) 就推完了？开心！！！

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define mkp(x,y) make_pair(x,y)
#define pb(x) push_back(x)
#define sz(v) (int)v.size()
typedef long long LL;
typedef double db;
template<class T>bool ckmax(T&x,T y){return x<y?x=y,1:0;}
template<class T>bool ckmin(T&x,T y){return x>y?x=y,1:0;}
#define rep(i,x,y) for(int i=x,i##end=y;i<=i##end;++i)
#define per(i,x,y) for(int i=x,i##end=y;i>=i##end;--i)
inline int read(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=0;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
	return f?x:-x;
}

#define mod 998244353
const int N=100005;
const int M=N<<2;

namespace math{
	
int inv[N],fac[N],ifc[N];
inline int qpow(int n,int k){int res=1;for(;k;k>>=1,n=1ll*n*n%mod)if(k&1)res=1ll*n*res%mod;return res;}
void initmath(const int&n=N-1){
	fac[0]=1;for(int i=1;i<=n;++i)fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
	ifc[n]=qpow(fac[n],mod-2);for(int i=n-1;i>=0;--i)ifc[i]=1ll*(i+1)*ifc[i+1]%mod;
	inv[1]=1;for(int i=2;i<=n;++i)inv[i]=1ll*inv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod;
}
}

using namespace math;

namespace poly{
	
int rev[M],lg,lim;
void init_poly(const int&n){
	for(lim=1,lg=0;lim<n;lim<<=1,++lg);
	for(int i=0;i<lim;++i)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lg-1));
}
void NTT(int*a,int op){
	for(int i=0;i<lim;++i)
		if(i>rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
	const int g=op?3:inv[3];
	for(int i=1;i<lim;i<<=1){
		const int wn=qpow(g,(mod-1)/(i<<1));
		for(int j=0;j<lim;j+=i<<1){
			int w0=1;
			for(int k=0;k<i;++k,w0=1ll*w0*wn%mod){
				const int X=a[j+k],Y=1ll*w0*a[i+j+k]%mod;
				a[j+k]=(X+Y)%mod,a[i+j+k]=(X-Y+mod)%mod;
			}
		}
	}
	if(op)return;const int ilim=qpow(lim,mod-2);
	for(int i=0;i<lim;++i)a[i]=1ll*a[i]*ilim%mod;
}
#define clr(a,n) memset(a,0,sizeof(int)*(n))
#define cpy(a,b,n) memcpy(a,b,sizeof(int)*(n))
void poly_mul(int*f,int*g,int*ans,int n,int m){
	static int A[M],B[M];init_poly(n+m);
	cpy(A,f,n),clr(A+n,lim-n),NTT(A,1);
	cpy(B,g,m),clr(B+m,lim-m),NTT(B,1);
	for(int i=0;i<lim;++i)ans[i]=1ll*A[i]*B[i]%mod;
	NTT(ans,0);
}
void poly_inv(int*g,int*f,int n){
	static int A[M];
	if(n==1)return g[0]=qpow(f[0],mod-2),void();
	poly_inv(g,f,(n+1)>>1);
	init_poly(n<<1);
	cpy(A,f,n),clr(A+n,lim-n),clr(g+n,lim-n);
	NTT(A,1),NTT(g,1);
	for(int i=0;i<lim;++i)g[i]=1ll*g[i]*(2-1ll*g[i]*A[i]%mod+mod)%mod;
	NTT(g,0),clr(g+n,lim-n);
}
	
}

int G[M],H[M],A[M],B[M];

void solve(const int&n=100000){
	initmath();
	A[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;++i)A[i]=mod-ifc[i];
	poly::poly_inv(G,A,n+1);
	poly::NTT(A,1);
	for(int i=0;i<poly::lim;++i)A[i]=1ll*A[i]*A[i]%mod;
	poly::NTT(A,0);
	poly::poly_inv(B,A,n+1);
	for(int i=1;i<=n;++i)H[i]=ifc[i];
	poly::poly_mul(H,B,H,n+1,n+1);
}

int main(){
	solve();
	for(int T=read();T;--T){
		int x=read();
		printf("%lld\n",1ll*H[x]*qpow(G[x],mod-2)%mod);
	}
	return 0;
}