P4827 [国家集训队] Crash 的文明世界

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由

\[m^n=\sum_{i=0}^{m}\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}i!\binom{m}{i} \]

得

\[S(u)=\sum_{i=1}^{n}\operatorname{dis}(u,i)^k\\ =\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=0}^{k}\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}j!\binom{\operatorname{dis}(u,i)}{j}\\ =\sum_{j=0}^{k}\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}j!\sum_{i=1}^{n}\binom{\operatorname{dis}(u,i)}{j} \]

瓶颈就是后面那个组合数了。

总感觉可以直接换根啊。搞半天才发现，组合数不裂开你就裂开了/fad

令 \(f_{u,j}\) 表示以 \(u\) 为根的子树内，\(\sum_{v\in subtree(u)}\dbinom{\operatorname{dis}(u,v)}{j}\)

因为

\[\sum\binom{d}{j}=\sum\binom{d-1}{j-1}+\binom{d-1}{j} \]

所以

\[f_{u,j}=\sum_{v\in son(u)} f_{v,j-1}+f_{v,j} \]

看到式子都能理解了吧，就是自己想要想好久。利用好距离差 \(1\) 这个条件。

这样以 \(1\) 为根就可以算了。

然后考虑换根。设 \(g_{u,j}=\sum\limits_{i=1}^{n}\dbinom{\operatorname{dis}(i,u)}{j}\) ，一样的思路转移，只不过烦一点。

转移的时候要非常小心边界，有些没法转移的要直接去掉。

方程大概长这样：

\[g_{u,j}=f_{u,j}+g_{fa_u,j-1}-f_{u,j-1}-f_{u,j-2}+g_{fa_u,j}-f_{u,j}-f_{u,j-1} \]

主要思路就是：自己子树内的贡献，加上从父亲 除了自己子树内的部分 过来的贡献。

const int N=50005;
const int K=152;
#define mod 10007
void fmod(int&x){x-=mod,x+=x>>31&mod;}
int n,k,f[N][K],g[N][K],S[K][K];
int hed[N],et;
struct edge{int nx,to;}e[N<<1];
void adde(int u,int v){e[++et].nx=hed[u],e[et].to=v,hed[u]=et;}
void dfs1(int u,int ft){
	f[u][0]=1;
	for(int i=hed[u];i;i=e[i].nx){
		int v=e[i].to;if(v==ft)continue;
		dfs1(v,u);
		rep(j,0,k){
			if(j>0)fmod(f[u][j]+=f[v][j-1]);
			fmod(f[u][j]+=f[v][j]);
		}
	}
}
void dfs2(int u,int ft){
	for(int i=hed[u];i;i=e[i].nx){
		int v=e[i].to;if(v==ft)continue;
		rep(j,0,k){
			g[v][j]=f[v][j];
			g[v][j]=(g[v][j]+g[u][j]-f[v][j])%mod;
			if(j>0){
				g[v][j]=(g[v][j]+mod-f[v][j-1])%mod;
				g[v][j]=(g[v][j]+g[u][j-1]-f[v][j-1]+mod)%mod;
				if(j>1)g[v][j]=(g[v][j]+mod-f[v][j-2])%mod;
			}
		}
		dfs2(v,u);
	}
}
signed main(){
	n=read(),k=read();
	rep(i,2,n){int x=read(),y=read();adde(x,y),adde(y,x);}
	S[1][1]=1;
	rep(i,2,k)rep(j,1,k)S[i][j]=(S[i-1][j-1]+j*S[i-1][j])%mod;
	dfs1(1,0);
	rep(i,0,k)g[1][i]=f[1][i];
	dfs2(1,0);
	for(int i=1;i<=n;++i){
		int res=0;
		for(int j=0,fac=1;j<=k;++j,fac=1ll*fac*j%mod)fmod(res+=1ll*S[k][j]*fac%mod*g[i][j]%mod);
		printf("%d\n",res);
	}
	return 0;
}