CF997C Sky Full of Stars

CF997C Sky Full of Stars

40分钟一波乱搞居然自己做出来了，开心！

答案是显然可以转化成：\(\rm{总方案数-没有任何一行或一列同色的方案数}\)

为啥这么化呢。。。显然后面那个东西比直接算答案简洁吧。

没有任何一行一列，就是恰好 \(0\) 行 \(0\) 列同色，强行把 恰好 拉出来反演掉。

令 \(g(x,y)\) 表示钦定 \(x\) 行 \(y\) 列同色得到的方案数，\(f(x,y)\) 表示至少 \(x\) 行 \(y\) 列同色的方案数

\[f(x,y)=\sum_{i=x}^{n}\sum_{j=y}^{n}\binom{n}{i}\binom{n}{j}g(i,j)\\ g(x,y)=\sum_{i=x}^{n}\sum_{j=y}^{n}(-1)^{i+j-x-y}\binom{n}{i}\binom{n}{j}f(i,j) \]

高维二项式反演的公式就是上面那玩意，瞎猜都能猜出来，事实上就是对的/cy。

但是不知道也没关系，因为这题只要求 \(g(0,0)\) ，所以可以直接容斥而不用管扩展性这么强的结论，我就是容斥想的，做完之后看题解看到了上面那个结论。

\[\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{n}(-1)^{i+j}\binom{n}{i}\binom{n}{j}f(i,j) \]

首先得想个办法把 \(f(x,y)\) 表示出来。

分成两部分考虑，一部分是任选同色的 \(x\) 行 \(y\) 列，一部分是在这 \(x\) 行 \(y\) 列之外的格子。

• 第一部分

  • 如果 \(x>0,y>0\) ，那么这 \(x\) 行 \(y\) 列必然同色，方案数乘 \(3\)。
  • 如果 \(x=0\ or \ y=0\) ，那么要么全是行，要么全是列，颜色随便取，所以方案数乘 \(3^{x+y}\)

• 第二部分

  剩余格子个数应该是 \((n-x)(n-y)\) ，因为有 \(x\) 行 \(y\) 列被占用了。所以方案数乘上 \(3^{(n-x)(n-y)}\)

整合一下：

\[f(x,y)= \begin{cases} 3\times 3^{(n-x)(n-y)}\quad(x>0,y>0)\\ 3^{x+y}\times 3^{(n-x)(n-y)}\quad (x=0\ or\ y=0) \end{cases} \]

然而到此为止还是 \(O(n^2)\) 级别的复杂度。（有可能带单只快速幂 \(\log\) ，但是无关紧要，下同）

把 \(f(x,y)\) 往 \(g(x,y)\) 的式子里大力带入然后整理。由于 \(x=0\ or\ y=0\) 的情况数很少，暴力 \(O(n)\) 算都可以，所以直接算 \(x>0,y>0\) 的情况了。

我是特判了 \(i=0\) 的情况，\(O(n)\) 计算，然后枚举 \(i\) 的过程中再特判 \(j=0\) 的情况的。

\[\text{原式}=\sum_{i=1}^{n}(\sum_{j=1}^{n}\binom{n}{i}\binom{n}{j}(-1)^{i+j}\times3\times3^{(n-i)(n-j)})+(-1)^{i+1}\times3^{i}\times 3^{(n-i)n}\\ =\sum_{i=1}^{n}\binom{n}{i}(-1)^{i}((\sum_{j=1}^{n}\binom{n}{j}(-1)^{j}\times 3\times 3^{(n-i)(n-j)})+(-1)^{i+1}\times 3^i\times 3^{(n-i)n}) \]

不知道你看出来了啥没有，反正我看了大概1分钟就会做了（

现在瓶颈就是下面这玩意对吧，把这个算出来就可以 \(O(n)\) 了。

\[\sum_{j=1}^{n}\binom{n}{j}(-1)^{j}\times 3\times 3^{(n-i)(n-j)}) \]

或许式子应该写的更好看一点？令 \(t=3^{n-i}\)

\[3\sum_{j=1}^{n}\binom{n}{j}(-1)^{j}t^{n-j} \]

直接二项式定理就好了，不要忘记 \(j=0\) 的情况要减掉。

\[3((t-1)^n-t^n) \]

#define mod 998244353
const int N=1000005;
namespace math{
int fac[N],ifc[N];
inline int qpow(int n,int k){int res=1;for(;k;k>>=1,n=1ll*n*n%mod)if(k&1)res=1ll*n*res%mod;return res;}
void fmod(int&x){x-=mod,x+=x>>31&mod;}
int comb(int n,int m){return n<m?0:1ll*fac[n]*ifc[m]%mod*ifc[n-m]%mod;}
void initmath(const int&n=N-1){
	fac[0]=1;for(int i=1;i<=n;++i)fac[i]=1ll*i*fac[i-1]%mod;
	ifc[n]=qpow(fac[n],mod-2);for(int i=n-1;i>=0;--i)ifc[i]=1ll*(i+1)*ifc[i+1]%mod;
}
}
using math::qpow;
using math::fmod;
int n,ans;
int f(int x,int y){
	return 1ll*qpow(3,1ll*(n-x)*(n-y)%(mod-1))*((!x||!y)?qpow(3,x+y):3)%mod;
}
signed main(){
	math::initmath();
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;++i){
		const int t=qpow(3,n-i);
		int res=3ll*(qpow(t-1,n)-qpow(t,n)+mod)%mod;
		fmod(res+=1ll*qpow(t,n)*qpow(3,i)%mod);
		fmod(ans+=1ll*math::comb(n,i)*(i&1?mod-res:res)%mod);
	}
	for(int i=0;i<=n;++i)fmod(ans+=1ll*math::comb(n,i)*(i&1?mod-f(0,i):f(0,i))%mod);
	fmod(ans=qpow(3,1ll*n*n%(mod-1))-ans+mod);
	cout<<ans<<'\n';
}