P4463 [集训队互测2012] calc/P5850 calc加强版

P4463 [集训队互测2012] calc

P5850 calc加强版

非常显然答案的 \(\rm EGF\) 是（暂时转成无标号）

\[\prod_{i=1}^{k}(1+ix) \]

尝试光速 \(\ln\) 加起来再 \(\exp\) 回去（和付公主的背包一样，原来是套路）

\[\ln(1+kx)=A(x)\\ \dfrac{k}{1+kx}=A'(x)\\ \dfrac{-(-k)}{1-(-kx)}=A'(x)\\ A'(x)=-\sum_{i=0} (-k)(-kx)^{i}\\ A(x)=-\sum_{i=1} \dfrac{(-kx)^i}{i}\\ A(x)=\sum_{i=1}\dfrac{k^i(-1)^{i+1}}{i}x^i\\ \]

有个结论要记一下，\(\ln(1-x)=-\sum_{i=1} \dfrac{x^i}{i}\) ，挺常见的，没做几道多项式就遇上两次了，下次可以直接用。

所以对于每一个 \(i\) 我们求出 \(\dfrac{(-1)^{i+1}}{i}\sum\limits_{j=1}^{k}j^i\) 就可以 \(\exp\) 了，也就是要求出自然数幂的前缀和。

原题已经可以拉格朗日插值直接过了（不过 \(\exp\) 最好写 \(O(n^2)\) 的，\(n=500\) 必然比 \(n\log n\) 的快吧）。

\(O(n^2)\) 的 \(\exp\) 已经补到 多项式笔记（一） 了，不会可以去看。

如何拉格朗日插值求自然数 \(k\) 次幂和不会可以看 这里 。都来做多项式题了，拉插总都会的吧

最后，由于序列这玩意是有标号的，再乘个阶乘就完结撒花了。

这题好像有个很难想的dp，你得看出来dp方程是一个 \(n\) 次多项式然后拉插，但是被生成函数爆踩了，就不管了qwq

关于加强版我脑子一片空白/fad，拉格朗日插值只能插一个幂啊/fad，感觉是个高科技，吊打拉格朗日插值，完全想不到就去看了题解。

刚打开题解就看见Nacly_Fish精准d人

你们啊，搞什么拉格朗日插值，真是 too young，too simple！

看完人都傻了，太高了。

考虑自然数幂前缀和的 \(\rm EGF\)

\[\sum_{i=0}(\sum_{j=0}^{k}j^i)\dfrac{x^i}{i!}\\ =\sum_{j=0}^{k}\sum_{i=0}\dfrac{(xj)^i}{i!}\\ =\sum_{j=0}^{k}e^{jx}\\ =\dfrac{1-e^{(k+1)x}}{1-e^x} \]

看起来求逆就好了。

然而非常生草的是，分母常数项为 \(0\) 不能求逆。

但是分子常数项也是 \(0\) ，所以上下同时除以 \(x\) 就能求逆了。

【两周之后的upd】这不就是伯努利数板子吗？？？其实，你已经会伯努利数啦！上面就是伯努利数的部分推导过程。

普通版code：

const int N=505;
int k,n,mod,f[N],g[N];
namespace math{
int fac[N],ifc[N],inv[N];
inline void fmod(int&x){x-=mod,x+=x>>31&mod;}
inline int qpow(int n,int k){int res=1;for(;k;k>>=1,n=1ll*n*n%mod)if(k&1)res=1ll*n*res%mod;return res;}
void initmath(const int&n=N-1){
	fac[0]=1;for(int i=1;i<=n;++i)fac[i]=1ll*i*fac[i-1]%mod;
	ifc[n]=qpow(fac[n],mod-2);for(int i=n-1;i>=0;--i)ifc[i]=1ll*ifc[i+1]*(i+1)%mod;
	inv[1]=1;for(int i=2;i<=n;++i)inv[i]=1ll*inv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod;
}
}
using math::qpow;
using math::fmod;

int lagrange(int n,int k){//前n项k次幂和
	static int pre[N],suf[N],sum[N],res;
	sum[0]=res=0;
	rep(i,1,k+2)fmod(sum[i]=sum[i-1]+qpow(i,k));
	if(n<=k+2)return sum[n];
	pre[0]=1;for(int i=1;i<=k+2;++i)pre[i]=1ll*pre[i-1]*(n-i)%mod;
	suf[k+3]=1;for(int i=k+2;i>=1;--i)suf[i]=1ll*suf[i+1]*(n-i)%mod;
	for(int i=1;i<=k+2;++i){
		int A=1ll*pre[i-1]*suf[i+1]%mod;
		int B=1ll*math::ifc[i-1]*math::ifc[k+2-i]%mod;
		if((k+2-i)&1)B=mod-B;
		fmod(res+=1ll*A*B%mod*sum[i]%mod);
	}
	return res;
}
void poly_exp(int*g,int*f,int n){
	g[0]=1;
	for(int i=1;i<n;++i){
		g[i]=0;
		for(int j=0;j<i;++j)fmod(g[i]+=1ll*(j+1)*f[j+1]%mod*g[i-1-j]%mod);
		g[i]=1ll*g[i]*math::inv[i]%mod;
	}
}
signed main(){
	k=read(),n=read(),mod=read(),math::initmath();
	for(int i=1;i<=n;++i)f[i]=1ll*lagrange(k,i)*(i&1?math::inv[i]:mod-math::inv[i])%mod;
	poly_exp(g,f,n+1);
	printf("%lld\n",1ll*g[n]*math::fac[n]%mod);
	return 0;
}

加强版code：

/*

    |-------                                                    |-----|                                   
    |                                                           |     | 
    |                                                           |     |
    |                                                           |     |                             *    |
    |------ |----|   ---  -----  \       / -----   ---          |-----| |    |   ---  ----- |    |     --|--
    |       |    | |/   \ |   |   \     /  |   | |/   \         |       |    | |/   \ |     |    |  |    |  
    |       |    | |      -----    \   /   ----- |              |       |    | |      |---- |    |  |    |
    |       |    | |      |         \ /    |     |              |       |    | |          | |    |  |    |
    |       |----| |      ----/      -     ---/  |      _____   |       |----| |      ----| |----|  |    --/


    \       /  \       / |----\     ------
     \     /    \     /  |     \    |
      \   /      \   /   |      \   |
       \-/        \-/    |      |   ------
        |          |     |      |        |
        |          |     |      /        |
        |          |     |     /         |
        |          |     |----/     ------


*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define mkp(x,y) make_pair(x,y)
#define pb(x) push_back(x)
#define sz(v) (int)v.size()
typedef long long LL;
typedef double db;
template<class T>bool ckmax(T&x,T y){return x<y?x=y,1:0;}
template<class T>bool ckmin(T&x,T y){return x>y?x=y,1:0;}
#define rep(i,x,y) for(int i=x,i##end=y;i<=i##end;++i)
#define per(i,x,y) for(int i=x,i##end=y;i>=i##end;--i)
inline int read(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=0;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
	return f?x:-x;
}

const int N=500005;
const int M=N<<2;
#define mod 998244353
int k,m,f[M],g[M],h[M];

namespace math{
inline int qpow(int n,int k){int res=1;for(;k;k>>=1,n=1ll*n*n%mod)if(k&1)res=1ll*n*res%mod;return res;}
inline void fmod(int&x){x-=mod,x+=x>>31&mod;}
int fac[N],ifc[N],inv[N];
void initmath(const int&n=N-5){
	fac[0]=1;for(int i=1;i<=n;++i)fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
	ifc[n]=qpow(fac[n],mod-2);for(int i=n-1;i>=0;--i)ifc[i]=1ll*(i+1)*ifc[i+1]%mod;
	inv[1]=1;for(int i=2;i<=n;++i)inv[i]=1ll*inv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod;
}
}
using math::qpow;
using math::fmod;

namespace poly{
int rev[M],lg,lim;
void init_poly(const int&n){
	for(lg=0,lim=1;lim<n;lim<<=1,++lg);
	for(int i=0;i<lim;++i)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lg-1));
}
void NTT(int*a,int op){
	for(int i=0;i<lim;++i)
		if(i>rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
	const int g=op?3:math::inv[3];
	for(int i=1;i<lim;i<<=1){
		const int wn=qpow(g,(mod-1)/(i<<1));
		for(int j=0;j<lim;j+=i<<1){
			int w0=1;
			for(int k=0;k<i;++k,w0=1ll*w0*wn%mod){
				const int X=a[j+k],Y=1ll*w0*a[i+j+k]%mod;
				fmod(a[j+k]=X+Y),fmod(a[i+j+k]=X-Y+mod);
			}
		}
	}
	if(op)return;const int ilim=qpow(lim,mod-2);
	for(int i=0;i<lim;++i)a[i]=1ll*ilim*a[i]%mod;
}
#define clr(a,n) memset(a,0,sizeof(int)*(n))
#define cpy(a,b,n) memcpy(a,b,sizeof(int)*(n))
void poly_mul(int*f,int*g,int*ans,int n,int m){
	static int A[M],B[M];init_poly(n+m);
	cpy(A,f,n),clr(A+n,lim-n),NTT(A,1);
	cpy(B,g,m),clr(B+m,lim-n),NTT(B,1);
	for(int i=0;i<lim;++i)ans[i]=1ll*A[i]*B[i]%mod;
	NTT(ans,0);
}
void poly_inv(int*g,int*f,int n){
	static int A[M];
	if(n==1)return g[0]=qpow(f[0],mod-2),void();
	poly_inv(g,f,(n+1)>>1),init_poly(n<<1);
	cpy(A,f,n),clr(A+n,lim-n),clr(g+n,lim-n);
	NTT(A,1),NTT(g,1);
	for(int i=0;i<lim;++i)g[i]=1ll*g[i]*(2-1ll*A[i]*g[i]%mod+mod)%mod;
	NTT(g,0),clr(g+n,lim-n);
}
void dao(int*g,int*f,int n){
	for(int i=0;i<n-1;++i)g[i]=1ll*(i+1)*f[i+1]%mod;g[n-1]=0;
}
void jif(int*g,int*f,int n){
	for(int i=1;i<=n;++i)g[i]=1ll*f[i-1]*math::inv[i]%mod;g[0]=0;
}
void poly_ln(int*g,int*f,int n){
	static int A[M],B[M];
	clr(A,n),poly_inv(A,f,n),dao(B,f,n),poly_mul(A,B,A,n,n),jif(g,A,n);
}
void poly_exp(int*g,int*f,int n){
	static int A[M];
	if(n==1)return g[0]=1,void();
	poly_exp(g,f,(n+1)>>1);
	clr(A,n),poly_ln(A,g,n);
	for(int i=1;i<n;++i)fmod(A[i]=f[i]+mod-A[i]);A[0]=1;
	poly_mul(A,g,g,n,n),clr(g+n,lim-n);
}

}

signed main(){
	math::initmath(),k=read(),m=read()+1;
	for(int i=0;i<m;++i)f[i]=math::ifc[i+1];
	for(int i=0,j=k+1;i<m;++i,j=1ll*j*(k+1)%mod)g[i]=1ll*j*math::ifc[i+1]%mod;
	clr(h,m),poly::poly_inv(h,f,m),poly::poly_mul(h,g,g,m,m);
	for(int i=0;i<m;++i)g[i]=1ll*g[i]*math::fac[i]%mod;

	for(int i=1;i<m;++i)f[i]=1ll*g[i]*(i&1?math::inv[i]:mod-math::inv[i])%mod;
	clr(g,m),poly::poly_exp(g,f,m);
	for(int i=1;i<m;++i)printf("%lld\n",1ll*g[i]*math::fac[i]%mod);
	return 0;
}