P5219 无聊的水题 I

P5219 无聊的水题 I

看了点prufer序列相关内容，然后这题被秒了，prufer序列板题。

prufer序列给出了一个序列与树的一一映射关系。

构造方法：取出标号最小的叶子，删掉它，并把与它相邻的节点加入prufer序列。重复这个操作直到只剩 \(2\) 个点。

所以一个 \(n\) 个节点的树映射为，元素均在 \([1,n]\) ，长度为 \(n-2\) 的序列。

而且有个显然的性质：一个结点会在序列中出现 \(\rm{度数}-1\) 次。

这题要求最大点度恰好为 \(m\) ，就相当于prufer序列中，出现次数最多的元素出现次数 \(\le m-1\) 总方案数，减去出现次数 \(\le m-2\) 的总方案数。

又是把“恰好”容斥掉的题目。

那么现在要求，一个每一个元素在 \([1,n]\) 内，长度为 \(n-2\) ，每一种元素出现次数 \(\le m\) 的方案数。

对于每一种元素，生成函数就是 \(F(x)=\sum_{i=0}^{m} \dfrac{x^i}{i!}\) 。

发现这 \(n\) 种元素的生成函数都是一样的，那直接求 \([x^{n-2}]F^n(x)\) ，多项式快速幂即可。注意 \(\rm EGF\) 最后还要乘阶乘。

多项式快速幂一遍打对了，开心。

有一个坑点，多项式运算应该在 \(\bmod x^{n+1}\) 下进行，不要像我一样在 \(\bmod x^{m+1}\) 下进行，调了半天。。。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define mkp(x,y) make_pair(x,y)
#define pb(x) push_back(x)
#define sz(v) (int)v.size()
typedef long long LL;
typedef double db;
template<class T>bool ckmax(T&x,T y){return x<y?x=y,1:0;}
template<class T>bool ckmin(T&x,T y){return x>y?x=y,1:0;}
#define rep(i,x,y) for(int i=x,i##end=y;i<=i##end;++i)
#define per(i,x,y) for(int i=x,i##end=y;i>=i##end;--i)
inline int read(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=0;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
	return f?x:-x;
}
#define mod 998244353
const int N=100005;
const int M=N<<2;

namespace math{
inline int qpow(int n,int k){int res=1;for(;k;k>>=1,n=1ll*n*n%mod)if(k&1)res=1ll*n*res%mod;return res;}
inline void fmod(int&x){x-=mod,x+=x>>31&mod;}
int fac[N],ifc[N],inv[N];
void initmath(const int&n=N-1){
	fac[0]=1;for(int i=1;i<=n;++i)fac[i]=1ll*i*fac[i-1]%mod;
	ifc[n]=qpow(fac[n],mod-2);for(int i=n-1;i>=0;--i)ifc[i]=1ll*(i+1)*ifc[i+1]%mod;
	inv[1]=1;for(int i=2;i<=n;++i)inv[i]=1ll*inv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod;
}
}
using math::qpow;
using math::fmod;

namespace poly{
int rev[M],lg,lim;
void init_poly(const int&n){
	for(lg=0,lim=1;lim<n;lim<<=1,++lg);
	for(int i=0;i<lim;++i)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lg-1));
}
void NTT(int*a,int op){
	for(int i=0;i<lim;++i)
		if(i>rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
	const int g=op?3:math::inv[3];
	for(int i=1;i<lim;i<<=1){
		const int wn=qpow(g,(mod-1)/(i<<1));
		for(int j=0;j<lim;j+=i<<1){
			int w0=1;
			for(int k=0;k<i;++k,w0=1ll*w0*wn%mod){
				const int X=a[j+k],Y=1ll*w0*a[i+j+k]%mod;
				fmod(a[j+k]=X+Y),fmod(a[i+j+k]=mod+X-Y);
			}
		}
	}
	if(op)return;const int ilim=qpow(lim,mod-2);
	for(int i=0;i<lim;++i)a[i]=1ll*a[i]*ilim%mod;
}
#define clr(a,n) memset(a,0,sizeof(int)*(n))
#define cpy(a,b,n) memcpy(a,b,sizeof(int)*(n))
void poly_mul(int*f,int*g,int*ans,int n,int m){
	static int A[M],B[M];init_poly(n+m);
	cpy(A,f,n),clr(A+n,lim-n),NTT(A,1);
	cpy(B,g,m),clr(B+m,lim-m),NTT(B,1);
	for(int i=0;i<lim;++i)ans[i]=1ll*A[i]*B[i]%mod;
	NTT(ans,0);
}
void poly_inv(int*g,int*f,int n){
	static int A[M];
	if(n==1)return g[0]=qpow(f[0],mod-2),void();
	poly_inv(g,f,(n+1)>>1);
	init_poly(n<<1);
	cpy(A,f,n),clr(A+n,lim-n),clr(g+n,lim-n);
	NTT(A,1),NTT(g,1);
	for(int i=0;i<lim;++i)g[i]=1ll*g[i]*(2-1ll*g[i]*A[i]%mod+mod)%mod;
	NTT(g,0),clr(g+n,lim-n);
}
void dao(int*g,int*f,int n){
	for(int i=0;i<n-1;++i)g[i]=1ll*f[i+1]*(i+1)%mod;g[n-1]=0;
}
void jif(int*g,int*f,int n){
	for(int i=1;i<=n;++i)g[i]=1ll*f[i-1]*math::inv[i]%mod;g[0]=0;
}
void poly_ln(int*g,int*f,int n){
	static int A[M],B[M];
	dao(A,f,n),clr(B,n),poly_inv(B,f,n),poly_mul(A,B,A,n,n),jif(g,A,n);
}
void poly_exp(int*g,int*f,int n){
	static int A[M];
	if(n==1)return g[0]=1,void();
	poly_exp(g,f,(n+1)>>1);
	clr(A,n),poly_ln(A,g,n);
	for(int i=0;i<n;++i)fmod(A[i]=(!i)-A[i]+f[i]+mod);
	poly_mul(A,g,g,n,n),clr(g+n,lim-n);
}
void poly_qpow(int*g,int*f,int n,int k){
	static int A[M];
	clr(A,n),poly_ln(A,f,n);
	for(int i=0;i<n;++i)A[i]=1ll*A[i]*k%mod;
	clr(g,n),poly_exp(g,A,n);
}

}

int n,m,f[M],g[M];
int solve(int n,int m){
	memset(f,0,sizeof(f));
	for(int i=0;i<=m;++i)f[i]=math::ifc[i];
	clr(g,n),poly::poly_qpow(g,f,n,n);
	return 1ll*g[n-2]*math::fac[n-2]%mod;
}
signed main(){
	math::initmath();
	n=read(),m=read();
	printf("%d\n",(solve(n,m-1)-solve(n,m-2)+mod)%mod);
	return 0;
}