P4841 [集训队作业2013]城市规划

P4841 [集训队作业2013]城市规划

很神奇的一道题目。。。

解法一

设 \(F(x)\) 表示无向连通图个数， \(G(x)\) 表示无像图个数。

显然 \(G(n)=2^{\binom{n}{2}}\) ，就是枚举每一条边选不选。

枚举与 \(1\) 相连的联通块大小可得

\[G(n)=\sum_{i=1}^{n}\binom{n-1}{i-1}F(i)G(n-i)\\ \dfrac{2^{\binom{n}{2}}}{(n-1)!}=\sum_{i=1}^{n}\dfrac{F(i)}{(i-1)!}\dfrac{2^{\binom{n-i}{2}}}{(n-i)!}\\ G(x)=F(x)*H(x)\\ F(x)=G(x)*H^{-1}(x) \]

拉板子吼啊！

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define mkp(x,y) make_pair(x,y)
#define pb(x) push_back(x)
#define sz(v) (int)v.size()
typedef long long LL;
typedef double db;
template<class T>bool ckmax(T&x,T y){return x<y?x=y,1:0;}
template<class T>bool ckmin(T&x,T y){return x>y?x=y,1:0;}
#define rep(i,x,y) for(int i=x,i##end=y;i<=i##end;++i)
#define per(i,x,y) for(int i=x,i##end=y;i>=i##end;--i)
inline int read(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=0;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
	return f?x:-x;
}
#define mod 1004535809
const int N=130005;
const int M=N<<2;
namespace math{
int inv[N],fac[N],ifc[N];
inline int qpow(int n,int k){int res=1;for(;k;k>>=1,n=1ll*n*n%mod)if(k&1)res=1ll*n*res%mod;return res;}
inline void fmod(int&x){x-=mod,x+=x>>31&mod;}
void initmath(const int n=N-1){
	inv[1]=1;for(int i=2;i<=n;++i)inv[i]=1ll*inv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod;
	fac[0]=1;for(int i=1;i<=n;++i)fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
	ifc[n]=qpow(fac[n],mod-2);for(int i=n-1;i>=0;--i)ifc[i]=1ll*(i+1)*ifc[i+1]%mod;
}
}
using math::qpow;
using math::fmod;

namespace poly{

int rev[M],lg,lim;
void init_poly(const int&n){
	for(lim=1,lg=0;lim<n;lim<<=1,++lg);
	for(int i=0;i<lim;++i)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lg-1));
}
void NTT(int*a,int op){
	for(int i=0;i<lim;++i)
		if(i>rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
	const int g=op?3:math::inv[3];
	for(int i=1;i<lim;i<<=1){
		const int wn=qpow(g,(mod-1)/(i<<1));
		for(int j=0;j<lim;j+=i<<1){
			int w0=1;
			for(int k=0;k<i;++k,w0=1ll*w0*wn%mod){
				const int X=a[j+k],Y=1ll*w0*a[i+j+k]%mod;
				fmod(a[j+k]=X+Y),fmod(a[i+j+k]=X-Y+mod);
			}
		}
	}
	if(op)return;int ilim=qpow(lim,mod-2);
	for(int i=0;i<lim;++i)a[i]=1ll*a[i]*ilim%mod;
}
#define clr(a,n) memset(a,0,sizeof(int)*(n))
#define cpy(a,b,n) memcpy(a,b,sizeof(int)*(n))
void poly_mul(int*f,int*g,int*ans,int n,int m){
	static int A[M],B[M];init_poly(n+m);
	cpy(A,f,n),clr(A+n,lim-n),NTT(A,1);
	cpy(B,g,m),clr(B+m,lim-m),NTT(B,1);
	for(int i=0;i<lim;++i)ans[i]=1ll*A[i]*B[i]%mod;
	NTT(ans,0);
}
void poly_inv(int*g,int*f,int n){
	static int A[M];
	if(n==1)return g[0]=qpow(f[0],mod-2),void();
	poly_inv(g,f,(n+1)>>1);
	init_poly(n<<1);
	cpy(A,f,n),clr(A+n,lim-n),clr(g+n,lim-n);
	NTT(A,1),NTT(g,1);
	for(int i=0;i<lim;++i)g[i]=1ll*g[i]*(2-1ll*A[i]*g[i]%mod+mod)%mod;
	NTT(g,0),clr(g+n,lim-n);
}
}

int A[M],B[M],C[M],n,ans[M];
signed main(){
	math::initmath();
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;++i)A[i]=1ll*qpow(2,1ll*i*(i-1)/2%(mod-1))*math::ifc[i-1]%mod;
	for(int i=0;i<=n;++i)B[i]=1ll*qpow(2,1ll*i*(i-1)/2%(mod-1))*math::ifc[i]%mod;
	poly::poly_inv(C,B,n+1);
	poly::poly_mul(A,C,ans,n+1,n+1);
	printf("%lld\n",1ll*ans[n]*math::fac[n-1]%mod);
	return 0;
}

解法二

这个才是写这篇题解的原因。

\(\exp\) 是有组合意义的！！！

把 \(F(x)\) 当作组成集合的元素，那么 \(\exp (F(x))=\sum \dfrac{F(x)^i}{i!}\) ，就是不断和自己卷积同时除掉标号，也就是生成集合。

回到这题，令 \(F(x)\) 表示无向连通图的生成函数，\(G(x)\) 表示无向图个数。

有 \([x^n]G(x)=\dfrac{2^{\binom{n}{2}}}{n!}\) 。如果把无向图看作集合，无向连通图就是组成它的元素。由于是 \(\rm EGF\) 要手动除一个阶乘下去，别忘了最后乘回来。

所以 \(\exp(F(x))=G(x)\) ！！！

两边取 \(\ln\) ，\(F(x)=\ln(G(x))\) 。取个 \(\ln\) 就完事了。

拉板子吼啊！

诶？我的 \(\ln\) \(\exp\) 开根快速幂怎么都没了

草，昨天手残删掉了，现在断网了。

算了算了，手敲

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define mkp(x,y) make_pair(x,y)
#define pb(x) push_back(x)
#define sz(v) (int)v.size()
typedef long long LL;
typedef double db;
template<class T>bool ckmax(T&x,T y){return x<y?x=y,1:0;}
template<class T>bool ckmin(T&x,T y){return x>y?x=y,1:0;}
#define rep(i,x,y) for(int i=x,i##end=y;i<=i##end;++i)
#define per(i,x,y) for(int i=x,i##end=y;i>=i##end;--i)
inline int read(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=0;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
	return f?x:-x;
}
#define mod 1004535809
const int N=130005;
const int M=N<<2;
namespace math{
int inv[N],fac[N],ifc[N];
inline int qpow(int n,int k){int res=1;for(;k;k>>=1,n=1ll*n*n%mod)if(k&1)res=1ll*n*res%mod;return res;}
inline void fmod(int&x){x-=mod,x+=x>>31&mod;}
void initmath(const int n=N-1){
	inv[1]=1;for(int i=2;i<=n;++i)inv[i]=1ll*inv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod;
	fac[0]=1;for(int i=1;i<=n;++i)fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
	ifc[n]=qpow(fac[n],mod-2);for(int i=n-1;i>=0;--i)ifc[i]=1ll*(i+1)*ifc[i+1]%mod;
}
}
using math::qpow;
using math::fmod;

namespace poly{

int rev[M],lg,lim;
void init_poly(const int&n){
	for(lim=1,lg=0;lim<n;lim<<=1,++lg);
	for(int i=0;i<lim;++i)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lg-1));
}
void NTT(int*a,int op){
	for(int i=0;i<lim;++i)
		if(i>rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
	const int g=op?3:math::inv[3];
	for(int i=1;i<lim;i<<=1){
		const int wn=qpow(g,(mod-1)/(i<<1));
		for(int j=0;j<lim;j+=i<<1){
			int w0=1;
			for(int k=0;k<i;++k,w0=1ll*w0*wn%mod){
				const int X=a[j+k],Y=1ll*w0*a[i+j+k]%mod;
				fmod(a[j+k]=X+Y),fmod(a[i+j+k]=X-Y+mod);
			}
		}
	}
	if(op)return;int ilim=qpow(lim,mod-2);
	for(int i=0;i<lim;++i)a[i]=1ll*a[i]*ilim%mod;
}
#define clr(a,n) memset(a,0,sizeof(int)*(n))
#define cpy(a,b,n) memcpy(a,b,sizeof(int)*(n))
void poly_mul(int*f,int*g,int*ans,int n,int m){
	static int A[M],B[M];init_poly(n+m);
	cpy(A,f,n),clr(A+n,lim-n),NTT(A,1);
	cpy(B,g,m),clr(B+m,lim-m),NTT(B,1);
	for(int i=0;i<lim;++i)ans[i]=1ll*A[i]*B[i]%mod;
	NTT(ans,0);
}
void poly_inv(int*g,int*f,int n){
	static int A[M];
	if(n==1)return g[0]=qpow(f[0],mod-2),void();
	poly_inv(g,f,(n+1)>>1);
	init_poly(n<<1);
	cpy(A,f,n),clr(A+n,lim-n),clr(g+n,lim-n);
	NTT(A,1),NTT(g,1);
	for(int i=0;i<lim;++i)g[i]=1ll*g[i]*(2-1ll*A[i]*g[i]%mod+mod)%mod;
	NTT(g,0),clr(g+n,lim-n);
}
void dao(int*g,int*f,int n){
	for(int i=0;i<n-1;++i)g[i]=1ll*f[i+1]*(i+1)%mod;g[n-1]=0;
}
void jif(int*g,int*f,int n){
	for(int i=1;i<=n;++i)g[i]=1ll*f[i-1]*math::inv[i]%mod;g[0]=0;
}
void poly_ln(int*g,int*f,int n){
	static int A[M],B[M];
	dao(A,f,n),clr(B,n),poly_inv(B,f,n),poly_mul(A,B,A,n,n),jif(g,A,n);
}
}

int A[M],n,ans[M];
signed main(){
	math::initmath();
	n=read();
	rep(i,0,n)A[i]=1ll*math::qpow(2,1ll*i*(i-1)/2%(mod-1))*math::ifc[i]%mod;
	poly::poly_ln(ans,A,n+1);
	printf("%lld\n",1ll*ans[n]*math::fac[n]%mod);
	return 0;
}

说句闲话：\(\ln\) 调用了求逆但是跑得比求逆快（