Re:从0开始的多项式生活
前言
临近 THUWC 和 NOIWC，觉得不搞点多项式可能拿不下大众分，正好没啥别的好搞，于是开坑。
upd： THUWC 没了，NOIWC 爆零了。
多项式这东西入门是真的难啊。
而我问身边一群多项式大佬（就是随手能切白兔之舞的那种神仙）的时候，他们都说“我不会多项式”。
于是我只好自闭，纯靠自学。
为了避免大家也出现这种情况，我决定记录一下我学习多项式的过程，对于初学多项式的人应该很有用吧！
这篇文章会告诉你，以我当时的视角，做的都是什么样的题，是怎么解题的。题目严格按照做的时间给出，题解就是我解题的过程，不大会上来直接扔做法，除非我自己一点思路没有去看题解；或者这题被我秒了。
我可能不会像cmd那样写一篇完整的总结，但是按照我做题的顺序，所有我一开始不知道的东西都会在第一次遇上时的题解里写到。
大概等我做掉白兔之舞就会把这篇文章公开了。你应该可以在这里找到我做的所有多项式题以及题解。
一些有用的资料
我的基础
EI 说，希望五年后的多项式教学不是从 FFT 开始。
建议先学生成函数。
大概 2020.2，听了Claris的多项式入门课，然而并没有入门。大概只会了这样几件事：
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会敲 NTT和FFT（大概率一遍敲对），大概了解了原理
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过了分治FFT板子，但是只会板子。
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会了多项式求逆。顺便he了上课的式子过了《城市规划》，自己完全不会推。
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学了MTT，但是只会7次的做法，很慢。
半搬上课的式子半推做了如下几题
鸽子了 n 个月。
2020.12月初开始为开坑做铺垫，准备NOIP过后开。然后因为某种奇怪的原因鸽子了（好像刷atc去了），终于准备要开了。
哦对了，说一下我目前的数学水平，数学还是很重要的。初三，中考概率AK数学，ZJ高考考纲内容全部学完（必修外加部分选修），抽代线代零基础（除了被OI逼着学的矩阵线性基高消，原理并不很透）。初二搞过一年高联。所以大概可以比得上一个重高普通班高二学生？
导数和积分一定要学，不然别搞多项式！！！
这段时间疯狂鸽子数学课看《具体数学》，翻到了第六章，然后从头又看了一遍。数学课太简单了，集体鸽子。
到底看到了些啥呢？我觉得就是会推基础二项式系数了，并且对生成函数有了一定了解（因为大部分看不懂/fad），这个对某个阶段的学习还是很有用的。
系统地学习
这部分开始实时记录。2020.12.24起。
做题速度瞬间变慢了，一道题可能好几个小时投下去。
板刷Karry5307的多项式题单1
然而这个还是回忆的几个星期前被 \(\color{black}{\texttt{c}}\color{red}{\texttt{yn2006}}\) 带着做了 P5641 【CSGRound2】开拓者的卓识 题解
【2020.12.24】学了多项式Ln，感觉挺简单的，然而感觉暂时没啥用，就咕了exp。
【2020.12.24】花了一个晚上独立切了 P5488 差分与前缀和 题解
【2020.12.25】CF755G PolandBall and Many Other Balls 花了一个下午，独立推了所有代数部分的式子，中间有一步组合意义没想到，看了题解。题解。
【2020.12.26】跟着Karry5307的题解学了倍增FFT解法做了上面那题，题解写在后面了。
感觉做题的时间好长啊，但是自己能推到底或者退出大部分式子还是很开心的。
【2020.12.26】做了 CF623E Transforming Sequence ，刚开始状态设错了搞了好久，或许这也是套路？具体见题解。题解 。做题过程发现我MTT精度爆炸，重新学了预处理单位根的MTT，快了一倍，精度高了多少都不知道。
【2020.12.27晚+2020.12.28下午】没能成功推出 CF773F Test Data Generation ，推了一个数学式子完全不会优化。事实上从生成函数的角度入手会方便很多。看懂了题解感觉也不是很难，自己就是想不到/kk 。题解
【2020.12.28晚】复习了 P4721 【模板】分治 FFT ，很顺利的调完了，并且成功发现之前写的假掉了。。具体见 题解
【2020.12.29晚+2020.12.30上午】复习板子的目的是做 CF553E Kyoya and Train 。式子推到底了，看了2h不会写。看了题解看懂了，2h调不出来。最后发现出了点大问题，FFT写挂了。题解
板刷不动了，转生成函数以及数数方面。
【2020.12.30下午】首要的事情就是补上exp和开根。大概翻了翻command_block的计数杂谈的前半部分和 一篇题解，看题解里那个泰勒展开的链接理解了泰勒展开，虽然我非常不赞同泰勒展开那篇文章前半部分用的那些图（如果我有知乎号会直接踩，那些东西看起来让人恶心，而且在机房里看那些东西被抓到会惨的一撇） ，但是后半段讲的还是可以的。我建议大家倒着往上翻，翻到合适的位子开始看。那篇牛迭写的真的好（可能是因为我刚刚理解了泰勒展开忽然看懂了很多东西吧！），一下子懂了。我对于泰勒展开的理解
【2020.12.30晚】过了多项式开根。写道exp的时候发现太多数组没清空重构了一发多项式板子。准备水个多项式快速幂，发现数组没清空，一晚上没调出来。。。
【2020.12.31早】发现是求逆的锅，调出来了。修改了一下文章。在 多项式笔记（一） 里详细介绍了我学的东西，并且我都能理解（再也不是背板子了，真开心）
【2020.12.31下午】做出了 CF438E The Child and Binary Tree ，题解
【2020.12.31晚】秒了 UVA12298 Super Poker II 。题解
【2021.1.1下午】几下子秒出 CF1251F Red-White Fence 思路，NTT写挂还能过20的样例，调到怀疑人生。。题解
【2021.1.1晚】做出了 P4451 [国家集训队]整数的lqp拆分。题解
【2021.1.2下午+晚】没能成功做出 P4389 付公主的背包 ，想想也不难。对于式子的敏感度不够啊/kk。题解
忽然感觉时间很紧张，毕竟 \(2\) 周之后就是THUWC，\(4\) 周之后就是WC。如果这东西不搞透学了等于白学。遂咕了一场模拟赛。后来有点后悔，毕竟不能只做多项式题，模拟赛还是得打。但是断网了，模拟赛题都没下，倒是开了一堆多项式博客和题目，那就搞多项式吧！
【2021.1.3早】重推 P4841 [集训队作业2013]城市规划 ，并且明白了 \(\exp\) 的组合意义。题解
【2021.1.3早】做出了 P4491 [HAOI2018]染色 ，并且搞懂了对于二项式反演的一个误区。题解
【2021.1.3早】看了cmd的blog，大概懂了prufer序列，然后秒了 P5219 无聊的水题 I.午休之后码掉了.题解
【2021.1.3晚+2020.1.4早】推出了 P5339 [TJOI2019]唱、跳、rap和篮球 。题解
感觉有点做厌了，鸽子了两天搞DS。
【2021.1.7下午+晚】做出了 P4463 [集训队互测2012] calc ，学了 \(O(n^2)\) 递推 \(\exp\)，但是不会 P5850 calc加强版 ，其实加强版就是以一种非常高明的方法求出了自然数幂前缀和。题解
【upd2021.1.17】看了点伯努利数相关内容，其实这个就是用伯努利数求的前缀和。或许可以先浏览一下 多项式笔记（二） 再做题，这个是我一个多星期之后写的文章qaq。
【2021.1.7晚】做出了 P5860 「SWTR-03」Counting Trees 。题解
【2021.1.8上午】鸽子了模拟赛，40min先秒了CF997C Sky Full of Stars （题解），然后开始看斯特林相关。
【2021.1.8上午】决定找一道斯特林数的题练手。找到的是 P6031 CF1278F Cards 加强版 ，推了半天不会，看题解，发现找错练手题了。
【2021.1.8下午】直接丢掉Cards加强版，不做了，超出能力范围太远。然后找到了另一到斯特林数题：P2791 幼儿园篮球题。由于有上午那题铺垫，哪怕题解都没看懂，这题被秒了。题解
所以，建议上面两题换顺序做！
【2021.1.8晚】不死心，并且做了cxk题感觉忽然悟了点什么，又开始搞 P6031 CF1278F Cards 加强版 ，自己重新推一遍，上午的也忘光了，因为根本没看懂。然后直接就推出来了/fad。题解
这就很离谱，上午明明题解没看懂啊，下午怎么直接秒题了，晚上怎么就会做了。。
【2021.1.9早】做了 P4827 [国家集训队] Crash 的文明世界 ，斯特林数部分推的很快，最后裂组合数搞dp方程卡了好久。。。题解
忽然觉得不对劲，想起来还有很多 GF 相关没有练习，PGF 甚至都不会，根据 cmd 给的练习，我还有 \(4\) 道 GF！！！
【2021.1.9早】决定去看点 PGF 内容，把GF补完再接着搞斯特林，找到的是上面资料里面花姐姐的那篇，cmd 的也结合着看，估计看不完，下午有时间就会接着看。
一算，时间来不及了，只有 \(6\) 天就 THUWC，最后3天肯定是找 CF 或者 atc 的 vp 练手感。wtf，三天能搞完 GF 剩余内容就很快了吧/fad。终究没赶上啊，原来希望在这之前能学完循环卷积的/kk。
但是还是得抓紧，THUWC 赶不上，NOIWC 可得赶上啊，\(\color{red}{\text{20天倒计时}}\)。
【2021.1.9晚】PGF 这东西真的 nb 啊，写个了 概率生成函数学习笔记 ，歌唱王国建议直接看题解吧，自己如果能只知道PGF基本推论在2h内做出来你已经是多项式大师了。后面就要自己做了。
【2021.1.10下午】打了mivik公开赛 ，T4是多项式题，场上切了，练了这么多还是有点用处的qwq。虽然那题裸爆了。不过也有点惊险，因为刚刚搞到第二类斯特林数，而且要是之前决定先结掉GF部分没搞第二类斯特林数就做不出来了qaq
忽然出了点问题，啥题都做不出来了，卡了好久了/kk
【2021.1.11下午+晚上】做CF923E Perpetual Subtraction。做了一下午脑子做炸了，到晚饭居然想睡觉，第一次体会到想题想到想吐的感觉（是物理上的想吐，大概是因为缺氧？）。因为积分不熟练只好拿初等方法推，推完了之后完全看不出就是一个多项式平移就能解决的问题，总而言之就是因为积分怎么学没做出来，学过的话大概率能切。题解
【2021.1.11晚】30min推出 P5162 WD与积木 ，一不小心求逆码炸了，第二天早上才AC。题解
【2021.1.12早】模拟赛T3多项式，拆了三个半小时式子拆出一个卷积，半小时来不及打直接GG。要加快推式子的速度了！不能一道题几个小时，你已经不是刚接触多项式了！！！
【2021.1.12下午+晚】数数已经进行了 \(20\) 天了，感觉好累啊。准备把 P5401 [CTS2019]珍珠 做出来就暂时放下GF，重开斯特林数。这题被我当作GF的结业测试了。于是下午硬刚，刚着刚着睡着了qaq，真的很累啊，完全没法集中注意力干脆睡一觉。起来了之后发现还是不会，只是稍微推进了一点进程。然后开始水，看rqy的WC游记，看到了什么题解里有写（。忽然受到了鼓舞+启发然后悟了，迅速推完切掉了，开心！！！题解
然后准备开斯特林数了，虽然之前已经开过一点了。
【2021.1.13】重开斯特林感觉无从下手。。。决定先把各种式子理清楚，于是有了 多项式笔记（二） 。然后做了 P4609 [FJOI2016]建筑师 ，接着准备做 CF960G Bandit Blues 这个双倍经验的时候，发现不会斯特林相关的多项式工业，于是有了 斯特林数和贝尔数的求法 。同时开两篇文章真累啊/youl
【2021.1.14早】学完了斯特林数的四种求法和贝尔数，完成了一篇文章。另一篇还要等欧拉数和斯特林反演，或许拉格朗日反演也会有。
【2021.1.14下午】做 CF960G Bandit Blues 。多项式平移打挂调了一会，由于约好打VP，就鸽子到了晚饭后，然后迅速调出来了。
【2021.1.14晚】晚上做了 CF961G Partitions 。感觉不是很难，想到了吸收率还没看出来，最后还是zhouakngyang指导了一下才看出来，感觉越学越菜了。题解
【2021.1.15下午】秒了 P4091 [HEOI2016/TJOI2016]求和 ，太水了。题解
鉴于前一天晚上打CF爆炸，G这个数数题开都没开到，被EF两道傻逼图论杀了。然后鸽子了一会多项式去搞了点图论。
做完那道图论跟同学吐槽，说多项式学了码力下降了啊。多项式只要式子推出来就能码出来，但是其他题都不会做了。
FP一听到我说觉得码力不行就来了劲，开始指导我，狂推大分块，最后被胁迫着写了 P4119 [Ynoi2018] 未来日记 ，所以鸽子了一天awa
【2021.1.17】学了点伯努利数相关，接着写多项式笔记（二），做了 P3711 仓鼠的数学题，有种非常奇妙的感觉qaq 。题解 。
【2021.1.17晚+2021.1.18】推 P4464 [国家集训队]JZPKIL 的式子。原本1.17晚上以为推完了的，结果发现复杂度假了，只好接着推。感觉挺毒瘤的，集训队互测就没什么良心题，集训队选手往死里出题太恶心了。1.18晚终于推出来了。题解
【2020.1.21】多项式笔记（二） 终于完工了！！！整理了好多东西，自己重新推了一遍清楚多了。然而这几天忘记记录做了哪些题了，那就一起说吧。学了伯努利数，做了 P3711 仓鼠的数学题（题解）。复习了Pollard-Rho，搞了一天过了 P4464 [国家集训队]JZPKIL（题解）。第二天又搞了一整天，学了P6800 【模板】Chirp Z-Transform，做了 P7102 [w3R1] 算（题解），伯努利数告一段落。然后卡了NTT的常数，搞了半天，然而只是从1.2s->0.9s，效果不咋地。因为向w33z交了一份hack数据，被拉去验w3R2了。可是我多项式学傻了，完全验不动题。于是……
证了一整天欧拉数恒等式，太难证了；验了一天题，晚上做 CF1349F1 Slime and Sequences (Easy Version) （题解），发现不会，双射没构造出来，看了题解/kk。然后就是发了这几天积累的题解以及笔记（二）。
【2021.1.23】做了 P5824 十二重计数法，看了点多点求值相关。不是很想更博客，笔记三先咕着。
【2021.1.24】学了 Fuyuki 的多点求值写法，然而还是被zaky吊打好几倍常数。
【2021.1.25】我决定连续vp到WC。多项式鸽子，WC前找手感。
【2021.1.27上午】同学们在打Lock out这个神奇赛制，玩了两场感觉像电竞。。。忽然想搞多项式了（（（
【2021.1.27上午】快进到跳过快速插值和下降幂多项式开始看单位根反演，填上了FFT这个坑，终于不是背板子了。开了 多项式笔记（三） 这个坑，做了 LOJ #6485. LJJ 学二项式定理，题解
结尾
啊，忘记更新了/wq。不过最近确实没怎么搞多项式，有点鸽子。但是门应该是已经入了。
az，笔记三就鸽子了，目前只有单位根反演，循环卷积，证了一遍 FFT，要看的私信吧。
最近有点乱做，比如 P7431 [THUPC2017] 小 L 的计算题， P4351 [CERC2015]Frightful Formula， P5075 [JSOI2012] 分零食 都可以自己做出来，那么应该算是入门了，文章就先发表了。
【彩蛋】 EZEC Round 7 的 E 是我出的多项式，欢迎各路神仙来爆切！
