洛谷 2424 约数和

题目：https://www.luogu.org/problemnew/show/P2424
题意:
对于一个数X，函数f(X)表示X所有约数的和。例如：f(6)=1+2+3+6=12。对于一个X，Smart可以很快的算出f(X)。现在的问题是，给定两个正整数X,Y(X<Y)，Smart希望尽快地算出f(X)+f(X+1)+……+f(Y)的值，你能帮助Smart算出这个值吗？
解法：
数学真是玄学...顺便说一句博客园的数学公式编辑真的垃圾
把f(n)用数学方式表达一下 $\sum_{d|x} d$
 那么ans =$\sum_{i=a}^b f(i)$ = $\sum_{i=a}^b \sum_{d|x} d$，然后直接枚举并累加，但是这样会TLE。
可以考虑枚举约数，考虑1~n中有几个数是d的倍数，如果有，可以表示为k*d。易知1<=k*d<=n，所以1<=k<=[n/d]。
也就是说把1~n中所有d的倍数拿出来，有d,2d,3d,......,[n/d]d，所以1~n中d的倍数有[n/d]个
 先求b的个数，然后减去a-1的个数，就是b-a的个数了。这样，$\sum_{i=a}^b f(i)$ = $\sum_{i=a}^b [n/i]*i$,那么ans = $\sum_{i=1}^b [b/i]*i$ - $\sum_{i=1}^{a-1} [{a-1}/i]*i$
这样做的时间复杂度为O(b)，仍然会TLE。
再看$\sum_{i=1}^n [n/i]*i$，只看[n/i]，以12为例，列出来是12,6,4,3,2,2,1,1,1,1,1,1，第i个数表示[n/i]的值,这个序列表示的就是每个因数的“贡献”，1贡献12次，2贡献6次......
有些数出现了重复，考虑用区间将这些重复的值一次性算出来。设区间左右端点,L,R，L就是上一个R+1，L初始值为1，R = n/(n/i)，(n/i)就是约数，如果不知道为什么，那就再看一遍“1~n中有几个数是 d 的倍数”。
ans+=约数*约数的个数，约数=n/L，约数个数$\sum_{i=L}^R i$,用等差数列求和公式表示一下就是(L+R)∗(R−L+1)/2
即ans+=(n/L)∗(L+R)∗(R−L+1)/2

 

AC：

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll sum(int n) {
    if(n<=1) return n;
    ll ans=0;
    for(ll l=1,r;l<=n;l=r+1) {
        r=n/(n/l);
        ans+=(n/l)*(l+r)*(r-l+1)/2;
    }
    return ans;
}

int main() {
    int a,b;
    cin >> a >> b;
    cout << sum(b)-sum(a-1) <<endl;
    return 0;
}