带权图的最短路径算法（Dijkstra，Floyd，Bellman_ford）

Dijkstra算法 —— 计算非负权值的单源最短路径

算法思想

　　基于贪心策略，每次都选择与源点 S 距离最近的且尚未确认最短路径的宿点 D，认为当前 S-D 的距离就是最终 S-D 的最短路径，因为 S 到其它点的距离都大于 S-D，所以 S 经过其它点再到达 D 点的路径必然更加大于 S-D，因此，当前 S-D 则为 S 到 D的最短路径。注意，此时的 S-D 并不一定是SD边的长度，很有可能是途径了其它一些已经确认了最短路径的点的长度。确定了 S 到 D 的最短路径之后，要更新 S 到其它尚未确定的点如点 E 的距离，判断经过 S-D-E 是否小于 S-E，若小于，则更新 S-E 的值。全部更新完后，继续寻找距离 S 最近的且尚未确认的宿点 D'，同点 D 一样，此时 S-D' 就是 S 到 D' 的最短距离，然后继续更新剩余的宿点，直到全部确认最短路径。

　　该算法的要点在于每次确定了一个最短路径的点，都要更新一遍源点到其它未确认的点的距离，以此来保证下次找到的路径最短的点的路径就是最短路径，这也是该贪心策略成功的关键。不过该算法不能处理带负权值的图，贪心得不到最优解。

Bellman-ford算法 —— 可计算带负权值的单源最短路径

算法思想

　　初始时，将源点 S 到其它点的距离 D(x) 设为无穷，然后针对图中每一条边 <u, v> ，进行如下松弛处理：D(v) = min ( D(v), D(u) + uv ) 。上述的遍历操作 最多进行 n - 1 次，就可以得到所有点的最短路径。之后再进行一次遍历，若再出现 D(v) > D(u) + uv 情况，那只能说明图中存在负权值环路，无法找到最短路径，只会越松弛越短。

　　至于为什么最多进行 n - 1 次松弛遍历操作就可以确定 S 到达其它 n - 1 个点的最短路径呢，因为每一次遍历完成，至少会得到一个点的最短路径，原因如下（懒得画图，脑中思考一下就好）：

　　假设 S 的可直达相邻节点有 A B C 三点（也可以更多，不过原理一样），显然 SA , SB, SC 至少有一个是最短路径，那么在一次松弛之后，D(A)，D(B)，D(C)至少有一个是最短路径，假设D(A)为最短路径，即为 SA，接下来分两种情况，

　　（1）S 到 B C 两点的最短路径全都需要经过 A 点，那么与 A 直接相邻的节点 D E F 的最短路径肯定要经过 A 点，此时类比 S 和 ABC 三点，SAD, SAE, SAF 也至少有一个是最短路径，因此第二次松弛后，至少又能确定一个点，假设为 D。D 点有可能在第一次松弛时就已经确定了，这是由边的遍历顺序决定的。

　　（2）S 到 Ｂ或 C 的最短路径不需要经过 A ，那么第一次遍历时就已经确定了 A 和 B C 中的某一点。

　　因此每次松弛至少可以确定一个点的最短路径，且只有 S，A，D.....一直类似情况（1）时才最多需要 n - 1 次松弛。

Floyd算法 —— 计算图中任意两点之间的最短路径

算法思想

　　该算法基于动态规划思想，对于任意两点 m, n，m 到 n 的最短路径可能经过 1，2，3，4 ...中任意个点，因此首先计算可以经过第一个点时，m  n 的最短路径是多少：dp[m][n] = min ( dp[m][1] + dp[1][n], dp[m][n] )，当计算完任意两个点后，再判断可以经过前两个点时，m n 的最短路径：dp[m][n] = min ( dp[m][2] + dp[2][n], dp[m][n] )，若不经过第二个点，那么dp[m][n]不变，若最短路径需要经过第二个点，那么dp[m][n] = dp[m][2] + dp[2][n]，至于此时经不经过第一个点，先经过还是后经过根本无需考虑，因为dp[m][2] 和 dp[2][n] 代表的就是考虑过第一个点的情况下的最短路径，在第一次只考虑第一个点时已经计算过了。下面继续计算可以经过前3个点、4个点......直到n个点的情况。

　　动态规划的最优子结构在于：在可以经过前 k-1 个点的情况下，已知任意两点 m n 的最短路径，那么在可以经过前 k 个点时，m n 的最短路径可以通过：

dp[m][n] = min ( dp[m][k] + dp[k][n], dp[m][n] )