一天一道算法题——逆序对（归并排序，树状数组，离散化）

题目【逆序对】：https://www.luogu.com.cn/problem/P1908

解法一：暴力法，适用于n比较小的时候，本题不适用。

解法二：归并排序。

我们很容易得出在合并操作的时候会找到逆序对。

记i指向左边区域的当前节点，j指向右边区域的当前节点。

当a[i]<=a[j]时，a[i]与右边区域的大于等于a[j]的所有数不构成逆序对,只需i++就好。

当a[i]>a[j]时，a[j]与左区域的大于等于a[i]的所有数皆构成逆序对，所以逆序对数目+=mid-l+1

因为int会溢出，所以sum用了long long

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#define N 500010
using namespace std;

int n, a[N],c[N];
long long sum=0;
void mergeSort(int l, int r) {
    if (l >= r)return;
    int mid = (l + r) >> 1,k = mid + 1, t = l, left = l, right = r;
    mergeSort(l, mid);
    mergeSort(mid + 1, r);
    while (l <= mid && k <= r) {
        if (a[l] <= a[k]) {
            c[t++] = a[l++];
        }
        else
            c[t++] = a[k++], sum += (long long)mid - l + 1;
    }
    while (l <= mid)
        c[t++] = a[l++];
    while (k <= r)
        c[t++] = a[k++];
    for (; left <= right; left++)
        a[left] = c[left];
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%d", &a[i]);
    mergeSort(1, n);
    printf("%lld", sum);
    return 0;
}

∠(°ゝ°)！

解法三：树状数组

记a[i]为原数组

然后我们将每个a[i]在树状数组tree[]里对应的位置都+1，这样a[i]的前缀和就代表了比它小或相等的数，那么i-前缀和就是逆序对的数量了。

接着……溢出了。

因为序列中的每个数不超过10^9，所以，你懂的。

为了减少空间消耗，我们采用离散化。

将a排序，然后将每个数分别用1……n代替，这样tree只需要10^5<<2的大小，大大减少了消耗。

代码如下：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<stdio.h>
#define N 500010
#define lowbit(x) x&-x
typedef long long ll;
using namespace std;

int n, b[N],tree[N<<2];
struct node {
    int val, num;
} a[N];

//inline作用和define差不多
inline bool cmp(node a, node b) {
    if (a.val == b.val)return a.num < b.num;
    return a.val < b.val;
}
void insert(int x, int k) {
    while (x <= n) {
        tree[x] += k;
        x += lowbit(x);
    }
}
ll query(int x) {
    ll ans = 0;
    while (x) {
        ans += tree[x];
        x -= lowbit(x);
    }
    return ans;
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%d", &a[i].val), a[i].num = i;
    //离散化，防止有些数太大，导出空间溢出
    sort(a + 1, a + n + 1, cmp);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        b[a[i].num] = i;
    ll ans=0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        insert(b[i], 1);
        ans += i-query(b[i]);
    }
    printf("%lld", ans);
    return 0;
}