一天一道算法题——树状数组

题目【模板】树状数组1：https://www.luogu.com.cn/problem/P3374

树状数组和线段树差不多，可以处理区间操作，但是处理不了太复杂的区间问题。，不过代码比线段树简洁很多很多！！！时间复杂度都为O（logn）。

例如，区间[1,8]存储方式如下：

tree[1]=num[1];//001---001
tree[2]=num[2]+num[1];//010---010 001
tree[3]=num[3];//011---011
tree[4]=num[4]+num[3]+num[2]+num[1];//100---100 011 010 001
tree[5]=num[5];//101---101
tree[6]=num[6]+num[5];//110---110 101
tree[7]=num[7];//111---111
tree[8]=num[8]+num[7]+num[6]+num[5]+num[4]+num[3]+num[2]+num[1];///1000---1000 0111 0110 0101 0100 0011 0010 0001

从注释可以看出存储方式和二进制有关系。

递推可得，当第x个数加上k时，tree[x]要加k，然后tree[x+x只剩最低位的1]也要加上x，循环往复。

根据负数在计算机中用补码存储可得k & -k即为x只剩最低位的1。

如7&-7

7用二进制表示为111，-7补码形式为001，111&001得001，所以7只剩最低位的1为001.

AC代码：

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#define maxn 500010
typedef long long ll;
using namespace std;

int n;
ll tree[maxn << 2];

int lowbit(int k) {
    return k & -k;
}

void add(int x, ll k) {
    while (x <= n) {
        tree[x] += k;
        x += lowbit(x);
    }
}
ll sum(int x) {
    ll ans = 0;
    while (x != 0) {
        ans += tree[x];
        x -= lowbit(x);
    }
    return ans;
}

int main() {
    int m, k, x, y;
    ll a;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%lld", &a);
        add(i,a);
    }
    while (m--) {
        cin >> k;
        if (k == 1) {
            scanf("%d%lld", &x, &a);
            add(x,a);
        }
        else {
            scanf("%d%d", &x, &y);
            if (x <= y)
                cout << sum(y)-sum(x-1)<< endl;
        }
    }
    return 0;
}

O(∩_∩)O哈哈~

补充一道区间加k的操作。

用差分思想和树状数组结合。

设数组a[]={1,6,8,5,10}，那么差分数组b[]={1,5,2,-3,5}

也就是说b[i]=a[i]-a[i-1];(a[0]=0;)，则递推可得：a[i]=b[1]+....+b[i]

所以对区间[x,y]进行修改,只用修改b[x]与b[y+1]:

b[x]=b[x]+k;b[y+1]=b[y+1]-k;

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#define maxn 500010
typedef long long ll;
using namespace std;

int n,a[maxn];
ll tree[maxn << 2];

int lowbit(int k) {
    return k & -k;
}

void add(int x, ll k) {
    while (x <= n) {
        tree[x] += k;
        x += lowbit(x);
    }
}
ll sum(int x) {
    ll ans = 0;
    while (x) {
        ans += tree[x];
        x -= lowbit(x);
    }
    return ans;
}

int main() {
    int m,x, y;
    ll k;
    scanf_s("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf_s("%d", &a[i]);
        add(i,a[i]-a[i-1]);
    }
    while (m--) {
        cin >> k;
        if (k == 1) {
            scanf_s("%d%d%lld", &x, &y,&k);
            add(x, k); 
            add(y + 1, -k);
        }
        else {
            scanf_s("%d", &x);
            cout << sum(x)<< endl;
        }
    }
    return 0;
}

\(^o^)/~