2934. 插头DP
给你一个 \(n \times m\) 的棋盘，有的格子是障碍，问共有多少条回路满足经过每个非障碍格子恰好一次。
如图，\(n=m=4\)，\((1,1),(1,2)\) 是障碍，共有 \(2\) 条满足要求的回路。
输入格式
第一行包含两个整数 \(n,m\)。
接下来 \(n\) 行，每行包含一个长度为 \(m\) 的字符串，字符串中只包含 * 和 .，其中 * 表示障碍格子，. 表示非障碍格子。
输出格式
输出一个整数，表示满足条件的回路数量。
数据范围
\(2 \le n,m \le 12\)
输入样例：
4 4
**..
....
....
....
输出样例：
2
解题思路
插头dp
插头dp 主要用来解决一些网格图上的哈密顿回路方案的相关问题
本题即 插头dp 模板题，即给出一个网格图，并且要求一些格子不能经过，求哈密顿回路的方案数
做法通常是一格一格做，由于是哈密顿回路，即每个格子会有两条出边（即插头），处理当前格子的时候之前，记录上一行边界出边的状态，通常记录这些的状态有两种方法：
- 最小表示法：由于上面每一个出边，一定会对应另外一条出边，对于每一对匹配边，用同一个数字表示，不同对匹配边之间用不同的数字表示，最后所有的这样的数字连起来的最小表示法即为该边界的状态
- 括号表示法（效率一般更高，因为可以转化为进制之间的运算）：从左往右，如果没有当前边界没有出边则用 \(0\) 表示，否则如果该匹配边在左边用 \(1\) 表示，在右边用 \(2\) 表示，最后会形成 \(012\) 这样的数字，但是这样的数字得用四进制表示，原因在于四进制好进行位运算
状态表示：\(f[i][j][s]\) 表示处理到 \((i,j)\) 这个格子时边界状态为 \(s\) 时得方案数
状态计算：
插头dp 的状态转移一般比较复杂，需要分好多情况讨论（这里采用括号表示法）：
处理到 \((i,j)\) 这个格子的时候，其左边界插头的状态为 \(x\)，上边界插头的状态为 \(y\)（\(0\leq x,y\leq 2\)）
- 如果 \((i,j)\) 是障碍物，则要求 \((i,j)\) 上不能出现插头才是合法状态，即 \(x=y=0\)，此时状态不变
- 如果 \(x=y=0\)，即左边界和上边界都没有插头，因为哈密顿回路要求每一个非障碍物的格子都要有两个插头，且这两个插头是连通的，即一定有一个出去然后另外一个回来，更新状态，由定义：\(x\leftarrow 1,y\leftarrow 2\)
- \(x=0,y\neq 0\)，此时 \(y\) 这个插头有两种选择：向下、向右。向右时当前格子的右边界状态即为 \(y\)，下边界状态为 \(0\)；向下时下边界状态为 \(y\)，右边界状态为 \(0\)
- \(x\neq 0,y=0\)，同样地，此时 \(x\) 这个插头有两种选择：向下、向右。向右时当前格子的有边界状态为 \(x\)，下边界状态为 \(0\)；向下时下边界状态为 \(x\)，右边界状态为 \(0\)
- \(x=y=1\)，此时两个插头连通，当前格子的右、下边界状态都为 \(0\)，且右边对应的状态需要修改，即此时两个状态 \(x,y\) 都有一个匹配插头，且都在右边，状态都为 \(2\)，由于这两个插头已经连通，所以右边之前未匹配的插头开始匹配，即将右边两个匹配的插头的第一个插头状态修改为 \(1\)
- \(x=y=2\)，同理，此时两个插头连通，当前格子的右、下边界状态都为 \(0\)，且左边对应的状态需要修改，即此时两个状态 \(x,y\) 都有一个匹配插头，且都在左边，状态都为 \(1\)，由于这两个插头已经连通，所以左边之前未匹配的插头开始匹配，即将右边两个匹配的插头的第二个插头状态修改为 \(2\)
- \(x=2,y=1\)，此时两个插头连通，当前格子的右、下边界状态都为 \(0\)，由于此时两个插头连通，但是对应的匹配的插头正好左边的匹配插头状态为 \(1\)，右边的匹配插头状态为 \(2\)，所以这时这样的状态不用修改
- \(x=1,y=2\)，此时两个插头连通，但是对于当前 \(x\) 来说，其对应的匹配插头在右边，对于 \(y\) 来说，其对应的匹配插头在左边，这样两条路径要么相交，要么重合，由于两条路径相交的话就不再是一条哈密顿回路，所以只能重合，而重合说明当前遍历的格子一定得是最后一个合法的格子
设有效状态数量为 \(S\)，则：
- 时间复杂度：\(O(n^3\times S)\)
代码
