303. 运输小猫

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303. 运输小猫

\(S\) 是农场主,他养了 \(M\) 只猫,雇了 \(P\) 位饲养员。

农场中有一条笔直的路,路边有 \(N\) 座山,从 \(1\)\(N\) 编号。

\(i\) 座山与第 \(i-1\) 座山之间的距离为 \(D_i\)

饲养员都住在 \(1\) 号山。

有一天,猫出去玩。

\(i\) 只猫去 \(H_i\) 号山玩,玩到时刻 \(T_i\) 停止,然后在原地等饲养员来接。

饲养员们必须回收所有的猫。

每个饲养员沿着路从 \(1\) 号山走到 \(N\) 号山,把各座山上已经在等待的猫全部接走。

饲养员在路上行走需要时间,速度为 \(1\) 米/单位时间。

饲养员在每座山上接猫的时间可以忽略,可以携带的猫的数量为无穷大。

例如有两座相距为 \(1\) 的山,一只猫在 \(2\) 号山玩,玩到时刻 \(3\) 开始等待。

如果饲养员从 \(1\) 号山在时刻 \(2\)\(3\) 出发,那么他可以接到猫,猫的等待时间为 \(0\)\(1\)

而如果他于时刻 \(1\) 出发,那么他将于时刻 \(2\) 经过 \(2\) 号山,不能接到当时仍在玩的猫。

你的任务是规划每个饲养员从 \(1\) 号山出发的时间,使得所有猫等待时间的总和尽量小。

饲养员出发的时间可以为负。

输入格式

第一行包含三个整数 \(N,M,P\)

第二行包含 \(n-1\) 个整数,\(D_2,D_3,…,D_N\)

接下来 \(M\) 行,每行包含两个整数 \(H_i\)\(T_i\)

输出格式

输出一个整数,表示所有猫等待时间的总和的最小值。

数据范围

\(2 \le N \le 10^5\),
\(1 \le M \le 10^5\),
\(1 \le P \le 100\),
\(1 \le D_i < 1000\),
\(1 \le H_i \le N\),
\(0 \le T_i \le 10^9\)

输入样例:

4 6 2
1 3 5
1 0
2 1
4 9
1 10
2 10
3 12

输出样例:

3

解题思路

斜率优化dp

假设某位饲养员的开始时刻为 \(s\),对于某只猫来说,如果有 \(s+d[i]\geq t[i]\),其中 \(d[i]\) 表示第 \(i\) 座山到第 \(1\) 座的距离,说明该饲养员可以接走这只猫,且该猫的等待时间为 \(s-(d[i]-t[i])\),设 \(A[i]=d[i]-t[i]\),将所有的 \(a[i]\) 排序,显然,\(s\) 应该选择其中若干个 \(a[i]\) 更优,有如下 dp

  • 状态表示:\(f[i][j]\) 表示 \(i\) 个饲养员负责 \(j\) 只猫的最少等待时间

  • 状态计算:\(f[i][j]=min\{f[i-1][k]+A[j]\times (j-k)-(sum[j]-sum[k])\}\),其中 \(sum[i]\)\(A[i]\) 的前缀和

对上式进行转化,得 \(f[i-1][k]+sum[k]=A[j]\times k+f[i][j]-A[j]\times j+sum[j]\),将 \(f[i-1][k]+sum[k]\) 看作 \(y\)\(k\) 看作 \(x\)\(A[j]\) 看作直线的斜率,\(f[i][j]-A[j]\times j+sum[j]\) 看作截距,与 \(k\) 有关的都视为变量,其他为常量,显然 \(-A[j]\times j+sum[j]\) 是一个常量,要使 \(f[i][j]\) 最小,即截距最小,同时,这里的 \(k\) 且直线的斜率也递增,即可转化为 301. 任务安排2 这题的解法
另外,需要注意:\(f[i][j]\) 需要初始化为正无穷,初始化状态 \(f[i][0]=0\) 表示 \(0\) 只猫,无论有多少饲养员,其等待时间都为 \(0\),而 \(f[0][i]\) 需要置为正无穷,因为有 \(i>0\) 只猫但是没有饲养员是非法状态,置为 \(0\) 的话会影响后续状态的转移

  • 时间复杂度:\(O(n)\)

代码

// Problem: 运输小猫
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/305/
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 2000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

const int N=1e5+5;
int n,m,p,d[N];
int hh,tt,q[N];
LL f[105][N],a[N],s[N];
LL get_y(int k,int j)
{
	return f[j-1][k]+s[k];
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
    	scanf("%d",&d[i]);
    	d[i]+=d[i-1];
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
    	int x;
    	scanf("%d%lld",&x,&a[i]);
    	a[i]-=d[x];
    }
    sort(a+1,a+1+m);
    for(int i=1;i<=m;i++)s[i]=s[i-1]+a[i];
    memset(f,0x3f,sizeof f);
    for(int i=0;i<=p;i++)f[i][0]=0;
    for(int i=1;i<=p;i++)
    {
    	hh=tt=q[0]=0;
    	for(int j=1;j<=m;j++)
    	{
    		while(hh<tt&&get_y(q[hh+1],i)-get_y(q[hh],i)<=(q[hh+1]-q[hh])*a[j])hh++;
    		int k=q[hh];
    		f[i][j]=f[i-1][k]+s[k]-s[j]+a[j]*(j-k);
    		while(hh<tt&&(get_y(q[tt],i)-get_y(q[tt-1],i))*(j-q[tt])>=(get_y(j,i)-get_y(q[tt],i))*(q[tt]-q[tt-1]))tt--;
    		q[++tt]=j;
    	}
    }
    printf("%lld",f[p][m]);
    return 0;
}
posted @ 2022-12-08 16:49  zyy2001  阅读(34)  评论(0编辑  收藏  举报