303. 运输小猫

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303. 运输小猫

S 是农场主,他养了 M 只猫,雇了 P 位饲养员。

农场中有一条笔直的路,路边有 N 座山,从 1N 编号。

i 座山与第 i1 座山之间的距离为 Di

饲养员都住在 1 号山。

有一天,猫出去玩。

i 只猫去 Hi 号山玩,玩到时刻 Ti 停止,然后在原地等饲养员来接。

饲养员们必须回收所有的猫。

每个饲养员沿着路从 1 号山走到 N 号山,把各座山上已经在等待的猫全部接走。

饲养员在路上行走需要时间,速度为 1 米/单位时间。

饲养员在每座山上接猫的时间可以忽略,可以携带的猫的数量为无穷大。

例如有两座相距为 1 的山,一只猫在 2 号山玩,玩到时刻 3 开始等待。

如果饲养员从 1 号山在时刻 23 出发,那么他可以接到猫,猫的等待时间为 01

而如果他于时刻 1 出发,那么他将于时刻 2 经过 2 号山,不能接到当时仍在玩的猫。

你的任务是规划每个饲养员从 1 号山出发的时间,使得所有猫等待时间的总和尽量小。

饲养员出发的时间可以为负。

输入格式

第一行包含三个整数 NMP

第二行包含 n1 个整数,D2,D3,,DN

接下来 M 行,每行包含两个整数 HiTi

输出格式

输出一个整数,表示所有猫等待时间的总和的最小值。

数据范围

2N105,
1M105,
1P100,
1Di<1000,
1HiN,
0Ti109

输入样例:

4 6 2 1 3 5 1 0 2 1 4 9 1 10 2 10 3 12

输出样例:

3

解题思路

斜率优化dp

假设某位饲养员的开始时刻为 s,对于某只猫来说,如果有 s+d[i]t[i],其中 d[i] 表示第 i 座山到第 1 座的距离,说明该饲养员可以接走这只猫,且该猫的等待时间为 s(d[i]t[i]),设 A[i]=d[i]t[i],将所有的 a[i] 排序,显然,s 应该选择其中若干个 a[i] 更优,有如下 dp

  • 状态表示:f[i][j] 表示 i 个饲养员负责 j 只猫的最少等待时间

  • 状态计算:f[i][j]=min{f[i1][k]+A[j]×(jk)(sum[j]sum[k])},其中 sum[i]A[i] 的前缀和

对上式进行转化,得 f[i1][k]+sum[k]=A[j]×k+f[i][j]A[j]×j+sum[j],将 f[i1][k]+sum[k] 看作 yk 看作 xA[j] 看作直线的斜率,f[i][j]A[j]×j+sum[j] 看作截距,与 k 有关的都视为变量,其他为常量,显然 A[j]×j+sum[j] 是一个常量,要使 f[i][j] 最小,即截距最小,同时,这里的 k 且直线的斜率也递增,即可转化为 301. 任务安排2 这题的解法
另外,需要注意:f[i][j] 需要初始化为正无穷,初始化状态 f[i][0]=0 表示 0 只猫,无论有多少饲养员,其等待时间都为 0,而 f[0][i] 需要置为正无穷,因为有 i>0 只猫但是没有饲养员是非法状态,置为 0 的话会影响后续状态的转移

  • 时间复杂度:O(n)

代码

// Problem: 运输小猫 // Contest: AcWing // URL: https://www.acwing.com/problem/content/305/ // Memory Limit: 256 MB // Time Limit: 2000 ms // // Powered by CP Editor (https://cpeditor.org) // %%%Skyqwq #include <bits/stdc++.h> //#define int long long #define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);} #define pb push_back #define fi first #define se second #define mkp make_pair using namespace std; typedef long long LL; typedef pair<int, int> PII; typedef pair<LL, LL> PLL; template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; } template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; } template <typename T> void inline read(T &x) { int f = 1; x = 0; char s = getchar(); while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); } while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar(); x *= f; } const int N=1e5+5; int n,m,p,d[N]; int hh,tt,q[N]; LL f[105][N],a[N],s[N]; LL get_y(int k,int j) { return f[j-1][k]+s[k]; } int main() { scanf("%d%d%d",&n,&m,&p); for(int i=2;i<=n;i++) { scanf("%d",&d[i]); d[i]+=d[i-1]; } for(int i=1;i<=m;i++) { int x; scanf("%d%lld",&x,&a[i]); a[i]-=d[x]; } sort(a+1,a+1+m); for(int i=1;i<=m;i++)s[i]=s[i-1]+a[i]; memset(f,0x3f,sizeof f); for(int i=0;i<=p;i++)f[i][0]=0; for(int i=1;i<=p;i++) { hh=tt=q[0]=0; for(int j=1;j<=m;j++) { while(hh<tt&&get_y(q[hh+1],i)-get_y(q[hh],i)<=(q[hh+1]-q[hh])*a[j])hh++; int k=q[hh]; f[i][j]=f[i-1][k]+s[k]-s[j]+a[j]*(j-k); while(hh<tt&&(get_y(q[tt],i)-get_y(q[tt-1],i))*(j-q[tt])>=(get_y(j,i)-get_y(q[tt],i))*(q[tt]-q[tt-1]))tt--; q[++tt]=j; } } printf("%lld",f[p][m]); return 0; }

__EOF__

本文作者acwing_zyy
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posted @   zyy2001  阅读(35)  评论(0编辑  收藏  举报
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