3246. 引水入城

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3246. 引水入城

MF 城建立在一片高原上。

由于城市唯一的水源是位于河谷地带的湖中，人们在坡地上修筑了一片网格状的抽水水管，以将湖水抽入城市。

如下图所示：

这片管网由 $n$ 行 $m$ 列节点（红色，图中 $n = 5$，$m = 6$），横向管道（紫色）和纵向管道（橙色）构成。

行和列分别用 $1$ 到 $n$ 的整数和 $1$ 到 $m$ 的整数表示。

第 $1$ 行的任何一个节点均可以抽取湖水，湖水到达第 $n$ 行的任何一个节点即算作引入了城市。

除第一行和最后一行外，横向相邻或纵向相邻的两个节点之间一定有一段管道，每一段管道都有各自的最大的抽水速率，并需要根据情况选择抽水还是放水。

对于纵向的管道（橙色），允许从上方向下方抽水或从下方向上方放水；如果从图中的上方向下方抽水，那么单位时间内能通过的水量不能超过管道的最大速率；如果从下方向上方放水，因为下方海拔较高，因此可以允许有任意大的水量。

对于横向的管道（紫色），允许从左向右或从右向左抽水，不允许放水，两种情况下单位时间流过的水量都不能超过管道的最大速率。

现在 MF 城市的水务负责人想知道，在已知每个管道单位时间容量的情况下，MF 城每单位时间最多可以引入多少的湖水。

输入格式

由于输入规模较大，我们采用伪随机生成的方式生成数据。

每组数据仅一行包含 $6$ 个非负整数 $n, m, A, B, Q, X_0$。其中，$n$ 和 $m$ 如前文所述，表示管网的大小，保证 $2 ≤ n, m ≤ 5000$；保证 $1 ≤ A, B, Q, X_0 ≤ 10^9$。

$A, B, Q, X\_0$ 是数据生成的参数，我们用如下的方式定义一个数列 $\{ X_i \}$：

$X_{i+1} = ( AX_i + B) \bmod Q, (i ≥ 0)$

我们将数列的第 $1$ 项到第 $(n-1)m$ 项作为纵向管道的单位时间容量，其中 $X_{(s-1)m+t}$ 表示第 $s$ 行第 $t$ 列的节点到第 $s+1$ 行第 $t$ 列管道单位时间的容量；将数列的第 $(n-1)m+1$ 项到第 $(n-1)m+(n-2)(m-1)$ 项（即接下来的 $(n-2)(m-1)$ 项）作为横向管道的单位时间容量，其中 $X_{(n-1)m+(s-2)(m-1)+t}$ 表示第 $s$ 行第 $t$ 列的节点到第 $s$ 行第 $t+1$ 列管道单位时间的容量。

输出格式

输出一行一个整数，表示 MF 城每单位时间可以引入的水量。

注意计算过程中有些参数可能超过 $32$ 位整型表示的最大值，请注意使用 $64$ 位整型存储相应数据。

数据范围

共有 $10$ 组评测数据，每组数据的参数规模如下所示：

输入样例1：

3 3 10 3 19 7

输出样例1：

38

样例1解释

使用参数得到数列 $\{ X_i \}=\{ 7, 16, 11, 18, 12, 9, 17, 2, 4, … \}$，按照输入格式可以得到每个管道的最大抽水量如下图所示：

在标准答案中，单位时间可以引水 $38$ 单位。所有纵向管道均向下抽水即可，不需要横向管道抽水，也不需要向上放水。

输入样例2：

2 5 595829232 749238243 603779819 532737791

输出样例2：

1029036148

输入样例3：

5 2 634932890 335818535 550589587 977780683

输出样例3：

192923706

输入样例4：

5 5 695192542 779962396 647834146 157661239

输出样例4：

1449991168

解题思路

分层图，最小割转平面图最短路

显然，如果不考虑数据范围，本题为最大流板题，即建立源点 $s$ 和 汇点 $t$，$s$ 向所有的第一行的点连边，容量足够大，最后一行的点向 $t$ 连边，容量足够大，其余边权在流网络中即为容量，求解 $s$ 到 $t$ 的最大流即为所求，但显然本题数据范围不允许，由最大流最小割定理，$最大流=最小割$，而该图又为一个平面图，可知 $平面图最短路=流网络最小割$，具体见 P4001 [ICPC-Beijing 2006] 狼抓兔子，则现在只用求解最短路即可，但 $O(nlogn)$ 的算法也无法通过本题，考虑性质，由于向上的边的容量足够大，最短路必不会选择该边，即列与列之间的传递是单向的，很容易发现这是一个每一列每一列的分层图，而且在每一层中的某个点，其是一条链，即只能从上或者下转移过来，而列与列之间只有一个方向
另外还需要注意对偶图平面的编号，这里不再赘述

• 时间复杂度：$O(nm)$

代码

// Problem: 引水入城
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/3249/
// Memory Limit: 512 MB
// Time Limit: 3000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

const int N=5005;
int n,m,A,B,Q,x;
LL f[N][N],w[N][N];
int main()
{
	memset(f,0x3f,sizeof f);
	memset(w,0x3f,sizeof w);
    scanf("%d%d%d%d%d%d",&n,&m,&A,&B,&Q,&x);
    for(int i=1;i<=n;i++)f[i][0]=0;
    for(int i=1;i<n;i++)
    	for(int j=1;j<=m;j++)
    		f[i][j]=x=((LL)A*x+B)%Q;
    for(int i=1;i<n-1;i++)
    	for(int j=1;j<m;j++)
    		w[i][j]=x=((LL)A*x+B)%Q;
    for(int j=1;j<=m;j++)
    {
    	for(int i=1;i<n;i++)	
    	{
    		f[i][j]+=f[i][j-1];
    		f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][j]+w[i-1][j]);
    	}
    	for(int i=n-2;i;i--)
    		f[i][j]=min(f[i][j],f[i+1][j]+w[i][j]);
    }
    LL res=1e18;
    for(int i=1;i<n;i++)res=min(res,f[i][m]);
    printf("%lld",res);
    return 0;
}

__EOF__

本文作者：acwing_zyy
本文链接：https://www.cnblogs.com/zyyun/p/16953668.html
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