2402. 2-SAT 问题

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2402. 2-SAT 问题

给定 $n$ 个还未赋值的布尔变量 $x_1 \sim x_n$。

现在有 $m$ 个条件，每个条件的形式为 “$x_i$ 为 $0/1$ 或 $x_j$ 为 $0/1$ 至少有一项成立”，例如 “$x_1$ 为 $1$ 或 $x_3$ 为 $0$”、“$x_8$ 为 $0$ 或 $x_4$ 为 $0$” 等。

现在，请你对这 $n$ 个布尔变量进行赋值（$0$ 或 $1$），使得所有 $m$ 个条件能够成立。

输入格式

第一行包含两个整数 $n,m$。

接下来 $m$ 行，每行包含四个整数 $i,a,j,b$，用来描述一个条件，表示 “$x_i$ 为 $a$ 或 $x_j$ 为 $b$”。

输出格式

如果问题有解，则第一行输出 POSSIBLE，第二行输出 $n$ 个整数表示赋值后的 $n$ 个变量 $x_1 \sim x_n$ 的值（$0$ 或 $1$），整数之间用单个空格隔开。

如果问题无解，则输出一行 IMPOSSIBLE 即可。

如果答案不唯一，则输出任意一种正确答案即可。

数据范围

$1 \le n,m \le 10^6$,
$1 \le i,j \le n$,
$0 \le a,b \le 1$

输入样例：

3 2
1 1 3 1
2 0 3 0

输出样例：

POSSIBLE
1 1 0

解题思路

2-SAT

2-SAT 通常解决这样一类问题：给出若干个这样的命题 $x_1\sim x_n$，给出一些条件 $x_i\cup x_j$，即 $x_i$ 或 $x_j$ 为真，给所有的命题判断真假

首先，有如下等价关系：$x\cup y\Leftrightarrow \neg x\rightarrow y\Leftrightarrow \neg y\rightarrow x$，则将 $x$ 和 $\neg x$ 看成两个不同的节点，将 $\neg x$ 向 $y$ 连边，$\neg y$ 向 $x$ 连边，即如果 $\neg x$ 为真的话 $y$ 也必须为真，$\neg y$ 为真的话 $x$ 也必须为真，则这样的关系依赖图显然会形成一个有向图，将该有向图缩点后，在一个强连通分量内判断是否存在这样一条 $x\rightarrow \neg x$，即如果 $x$ 为真的话 $\neg x$ 也必然为真，显然矛盾，即整个命题无解，否则$\color{red}{是否一定有解？}$不妨构造这样的解：缩点后，对于 $x$ 和 $\neg x$ 来说，如果 $x$ 的拓扑序要靠后，则置 $x$ 为真，否则置为假。$\color{red}{为什么这样是正确的？}$首先一个强连通分量一定与另外某个强连通分量是对偶的关系，即如果一个强连通分量某含有这样的命题：$x,\neg y,z$，则一定存在另外一个强连通分量含这样的命题：$\neg x,y,\neg z$，因为如果存在这样一条路径：$x\rightarrow \neg y\rightarrow z$，则一定存在这样一条路径：$\neg x\rightarrow y\rightarrow \neg z$，要使上面的构造方案为假，即证明某个命题：$x\cup y$，其中 $x$ 为假且 $y$，反证：$x$ 为假时 $y$ 必然为真，因为 $x$ 为假，即 $\neg x$ 的拓扑序靠后，而有这样的连边 $\neg x\rightarrow y$，即 $y$ 的拓扑不比 $\neg x$ 靠前，同时也存在这样的连边 $\neg y\rightarrow x$，即 $\neg y$ 不比 $x$ 靠前，则 $y$ 的拓扑序要比 $\neg y$ 靠后，即 $y$ 会置为真，得证

• 时间复杂度：$O(n+m)$

代码

// Problem: 2-SAT 问题
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/2404/
// Memory Limit: 512 MB
// Time Limit: 5000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

const int N=2e6+5;
int n,m;
int h[N],ne[N],e[N],idx;
int dfn[N],low[N],timestamp,scc_cnt,id[N],stk[N],top;
bool in_stk[N];
void add(int a,int b)
{
	e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}
void tarjan(int x)
{
	dfn[x]=low[x]=++timestamp;
	stk[++top]=x,in_stk[x]=true;
	for(int i=h[x];~i;i=ne[i])
	{
		int y=e[i];
		if(!dfn[y])
		{
			tarjan(y);
			low[x]=min(low[x],low[y]);
		}
		else if(in_stk[y])
			low[x]=min(low[x],dfn[y]);
	}
	if(low[x]==dfn[x])
	{
		int y;
		scc_cnt++;
		do
		{
			y=stk[top--];
			in_stk[y]=false;
			id[y]=scc_cnt;
		}while(y!=x);
	}
}
int main()
{
	memset(h,-1,sizeof h);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    while(m--)
    {
    	int i,a,j,b;
    	scanf("%d%d%d%d",&i,&a,&j,&b);
    	i--,j--;
    	add(2*i+!a,2*j+b);
    	add(2*j+!b,2*i+a);
    }
    for(int i=0;i<2*n;i++)
    	if(!dfn[i])tarjan(i);
    for(int i=0;i<n;i++)
    	if(id[i<<1]==id[i<<1|1])
    	{
    		puts("IMPOSSIBLE");
    		return 0;
    	}
    puts("POSSIBLE");
    for(int i=0;i<n;i++)
    	if(id[i<<1]<id[i<<1|1])printf("%d ",0);
    	else
    		printf("%d ",1);
    return 0;
}

__EOF__

本文作者：acwing_zyy
本文链接：https://www.cnblogs.com/zyyun/p/16948960.html
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