2195. 深海机器人问题

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2195. 深海机器人问题

深海资源考察探险队的潜艇将到达深海的海底进行科学考察。

潜艇内有多个深海机器人。

潜艇到达深海海底后，深海机器人将离开潜艇向预定目标移动。

深海机器人在移动中还必须沿途采集海底生物标本。

沿途生物标本由最先遇到它的深海机器人完成采集。

每条预定路径上的生物标本的价值是已知的，而且生物标本只能被采集一次。

本题限定深海机器人只能从其出发位置沿着向北或向东的方向移动，而且多个深海机器人可以在同一时间占据同一位置。若机器人不能到达终点则不能放置。

用一个 $P \times Q$ 网格表示深海机器人的可移动位置。

西南角的坐标为 $(0,0)$，东北角的坐标为 $(P,Q)$。

给定每个深海机器人的出发位置和目标位置，以及每条网格边上生物标本的价值。

计算深海机器人的最优移动方案，使尽可能多的深海机器人到达目的地的前提下，采集到的生物标本的总价值最高。

输入格式

第 $1$ 行为深海机器人的出发位置数 $a$，和目的地数 $b$，第 $2$ 行为 $P$ 和 $Q$ 的值。

接下来的 $P+1$ 行，每行有 $Q$ 个正整数，其中第 $i$ 行（从 $0$ 开始计数）的第 $j$ 个（从 $0$ 开始计数）正整数表示点 $(i,j)$ 到点 $(i,j+1)$ 的路径上生物标本的价值。

再接下来的 $Q+1$ 行，每行有 $P$ 个正整数，其中第 $i$ 行（从 $0$ 开始计数）的第 $j$ 个（从 $0$ 开始计数）正整数表示点 $(j,i)$ 到点 $(j+1,i)$ 的路径上生物标本的价值。

接下来的 $a$ 行，每行有 $3$ 个整数 $k,x,y$，表示有 $k$ 个深海机器人从 $(x,y)$ 位置坐标出发。

再接下来的 $b$ 行，每行有 $3$ 个整数 $r,x,y$，表示有 $r$ 个深海机器人可选择 $(x,y)$ 位置坐标作为目的地。

输出格式

输出采集到的生物标本的最高总价值。

数据范围

$1 \le a \le 4$,
$1 \le b \le 6$,
$1 \le P,Q \le 15$,
$1 \le k,r \le 10$,
$0 \le x \le P$,
$0 \le y \le Q$,
各个生物标本价值不超过 $200$。

输入样例：

1 1
2 2
1 2
3 4
5 6
7 2
8 10
9 3
2 0 0
2 2 2

输出样例：

42

解题思路

费用流

本题类似于 382. K取方格数
建图：本题比较友好的地方在于定义的是边权，即不用 382. K取方格数 拆点，对于某个点 $(x,y)$ 来说，其分别向 $(x+1,y)$ 和 $(x,y+1)$ 连边，容量为 $1$，费用为边权，同理，由于边权只能取一次，所以其还需再分别向 $(x+1,y)$ 和 $(x,y+1)$ 连一条容量足够大，费用为 $0$ 的边，建立源点 $s$ 和汇点 $t$，$s$ 向出发的位置连边，容量为其上的机器人数量，费用为 $0$，所有目的位置向 $t$ 连边，容量为该位置可容纳机器人的数量，费用为 $0$，求解从 $s$ 到 $t$ 的最大费用最大流即为所求
$\color{red}{为什么？}$
从 $s$ 出发到某个出发位置的可行流可以看成从该位置出发的机器人数量，且如果其经过某个边容量为 $1$ 的边，下一次其他可行流就不会经过该边，即每个边权只能取一次，另外由于目的位置到 $t$ 的流量有限制，即对应实际问题某该目的位置可容纳机器人的数量，可行流与实际问题是一一对应的，虽然不一定能够满流，但要求出发的机器人尽量多，故最大费用最大流即为所求

• 时间复杂度：$O(kPQf)$

代码

// Problem: 深海机器人问题
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/2197/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

const int N=16*16+10,M=2505,inf=1e9;
int A,B,n,m,S,T;
int h[N],f[M],w[M],ne[M],e[M],idx;
int d[N],pre[N],incf[N],q[N];
bool st[N];
void add(int a,int b,int c,int d)
{
	e[idx]=b,f[idx]=c,w[idx]=d,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
	e[idx]=a,f[idx]=0,w[idx]=-d,ne[idx]=h[b],h[b]=idx++;
}
int get(int x,int y)
{
	return x*(m+1)+y;
}
bool spfa()
{
    memset(d,-0x3f,sizeof d);
    memset(incf,0,sizeof incf);
    d[S]=0,incf[S]=inf,q[0]=S;
    int hh=0,tt=1;
    while(hh!=tt)
    {
        int x=q[hh++];
        if(hh==N)hh=0;
        st[x]=false;
        for(int i=h[x];~i;i=ne[i])
        {
            int y=e[i];
            if(d[y]<d[x]+w[i]&&f[i])
            {
                d[y]=d[x]+w[i];
                pre[y]=i;
                incf[y]=min(incf[x],f[i]);
                if(!st[y])
                {
                    q[tt++]=y;
                    if(tt==N)tt=0;
                    st[y]=true;
                }
            }
        }
    }
    return incf[T]>0;
}
int EK()
{
    int cost=0;
    while(spfa())
    {
        int t=incf[T];
        cost+=t*d[T];
        for(int i=T;i!=S;i=e[pre[i]^1])f[pre[i]]-=t,f[pre[i]^1]+=t;
    }
    return cost;
}
int main()
{
	memset(h,-1,sizeof h);
    scanf("%d%d%d%d",&A,&B,&n,&m);
    S=(n+1)*(m+1),T=S+1;
    for(int i=0;i<=n;i++)
    	for(int j=0;j<m;j++)
    	{
    		int c;
    		scanf("%d",&c);
    		add(get(i,j),get(i,j+1),1,c);
    		add(get(i,j),get(i,j+1),inf,0);
    	}
    for(int j=0;j<=m;j++)
    	for(int i=0;i<n;i++)
    	{
    		int c;
    		scanf("%d",&c);
    		add(get(i,j),get(i+1,j),1,c);
    		add(get(i,j),get(i+1,j),inf,0);
    	}
    int k,x,y;
    while(A--)
    {
    	scanf("%d%d%d",&k,&x,&y);
    	add(S,get(x,y),k,0);
    }
    while(B--)
    {
    	scanf("%d%d%d",&k,&x,&y);
    	add(get(x,y),T,k,0);
    }
    printf("%d",EK());
    return 0;
}

__EOF__

本文作者：acwing_zyy
本文链接：https://www.cnblogs.com/zyyun/p/16945734.html
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