2191. 数字梯形问题

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2191. 数字梯形问题

给定一个由 $n$ 行数字组成的数字梯形如下图所示。

梯形的第一行有 $m$ 个数字。

从梯形的顶部的 $m$ 个数字开始，在每个数字处可以沿左下或右下方向移动，形成一条从梯形的顶至底的路径。

规则 $1$：从梯形的顶至底的 $m$ 条路径互不相交。

规则 $2$：从梯形的顶至底的 $m$ 条路径仅在数字结点处相交。

规则 $3$：从梯形的顶至底的 $m$ 条路径允许在数字结点相交或边相交。

对于给定的数字梯形，分别按照规则 $1$，规则 $2$，和规则 $3$ 计算出从梯形的顶至底的 $m$ 条路径，使这 $m$ 条路径经过的数字总和最大。

输入格式

第 $1$ 行中有 $2$ 个正整数 $m$ 和 $n$，分别表示数字梯形的第一行有 $m$ 个数字，共有 $n$ 行。

接下来的 $n$ 行是数字梯形中各行的数字。第 $1$ 行有 $m$ 个数字，第 $2$ 行有 $m+1$ 个数字，以此类推。

输出格式

将按照规则 $1$，规则 $2$，和规则 $3$ 计算出的最大数字总和输出，每行输出一个最大总和。

数据范围

$1 \le n,m \le 20$,
梯形中的数字范围 $[1,1000]$。

输入样例：

2 5
2 3
3 4 5
9 10 9 1
1 1 10 1 1
1 1 10 12 1 1

输出样例：

66
75
77

解题思路

费用流，最大权不相交路径

建图
对于限制一，先建立源点 $s$ 和汇点 $t$，由于点受到限制且费用没法表示，所以需要拆点，即拆分为入点和出点，每个点的入点向其出点连边，由于每个点只能用一次，所以容量为 $1$，费用为点权，由于第一行人数已经固定为 $1$，从 $s$ 到所有第一行的点连边，容量为 $1$，费用为 $0$，最后一行的所有点的出点向 $t$ 连边，容量为 $1$，费用为 $0$
其他两个限制相应地放开容量即可
$\color{red}{为什么？}$
把可行流的轨迹当作人的行动轨迹，不难发现，此时对于限制一，如果某个点的入点和出点有流量的话，且只会经过一次，表示选择该点且计算其费用，由于第一行已经确定了，从 $s$ 出发的边都会
满流，即最后达到最大流时求解最大费用即为不相交路径最大权，故可行流与实际问题是一一对应的，其他两个限制同理

• 时间复杂度：$O(k\times (n+m)\times f)$

代码

// Problem: 数字梯形问题
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/2193/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

const int N=590*2+5,M=(20+39+590+590*2+10)*2,inf=1e9;
int m,n,cost[40][40],S,T,id[40][40],cnt;
int h[N],f[M],w[M],ne[M],e[M],idx;
int incf[N],pre[N],d[N],q[N];
bool st[N];
void add(int a,int b,int c,int d)
{
    e[idx]=b,f[idx]=c,w[idx]=d,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
    e[idx]=a,f[idx]=0,w[idx]=-d,ne[idx]=h[b],h[b]=idx++;
}
bool spfa()
{
    memset(d,-0x3f,sizeof d);
    memset(incf,0,sizeof incf);
    d[S]=0,incf[S]=inf,q[0]=S;
    int hh=0,tt=1;
    while(hh!=tt)
    {
        int x=q[hh++];
        if(hh==N)hh=0;
        st[x]=false;
        for(int i=h[x];~i;i=ne[i])
        {
            int y=e[i];
            if(d[y]<d[x]+w[i]&&f[i])
            {
                d[y]=d[x]+w[i];
                pre[y]=i;
                incf[y]=min(incf[x],f[i]);
                if(!st[y])
                {
                    q[tt++]=y;
                    if(tt==N)tt=0;
                    st[y]=true;
                }
            }
        }
    }
    return incf[T]>0;
}
int EK()
{
    int cost=0;
    while(spfa())
    {
        int t=incf[T];
        cost+=t*d[T];
        for(int i=T;i!=S;i=e[pre[i]^1])f[pre[i]]-=t,f[pre[i]^1]+=t;
    }
    return cost;
}
int main()
{
	
    scanf("%d%d",&m,&n);
    S=++cnt,T=++cnt;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    	for(int j=1;j<=m+i-1;j++)
    	{
    		scanf("%d",&cost[i][j]);
    		id[i][j]=++cnt;
    	}
    	
    memset(h,-1,sizeof h);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    	for(int j=1;j<=m+i-1;j++)
    	{
    		add(id[i][j]<<1,id[i][j]<<1|1,1,cost[i][j]);
    		if(i==1)
    			add(S,id[i][j]<<1,1,0);
    		if(i<n)
    			add(id[i][j]<<1|1,id[i+1][j]<<1,1,0),
    			add(id[i][j]<<1|1,id[i+1][j+1]<<1,1,0);
    		if(i==n)
    			add(id[i][j]<<1|1,T,1,0);
    	}
    printf("%d\n",EK());
    
    memset(h,-1,sizeof h);
    idx=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    	for(int j=1;j<=m+i-1;j++)
    	{
    		add(id[i][j]<<1,id[i][j]<<1|1,inf,cost[i][j]);
    		if(i==1)
    			add(S,id[i][j]<<1,1,0);
    		if(i<n)
    			add(id[i][j]<<1|1,id[i+1][j]<<1,1,0),
    			add(id[i][j]<<1|1,id[i+1][j+1]<<1,1,0);
    		if(i==n)
    			add(id[i][j]<<1|1,T,inf,0);
    	}
    printf("%d\n",EK());
    
    memset(h,-1,sizeof h);
    idx=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    	for(int j=1;j<=m+i-1;j++)
    	{
    		add(id[i][j]<<1,id[i][j]<<1|1,inf,cost[i][j]);
    		if(i==1)
    			add(S,id[i][j]<<1,1,0);
    		if(i<n)
    			add(id[i][j]<<1|1,id[i+1][j]<<1,inf,0),
    			add(id[i][j]<<1|1,id[i+1][j+1]<<1,inf,0);
    		if(i==n)
    			add(id[i][j]<<1|1,T,inf,0);
    	}
    printf("%d\n",EK());
    return 0;
}

__EOF__

本文作者：acwing_zyy
本文链接：https://www.cnblogs.com/zyyun/p/16943643.html
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