2193. 分配问题
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2193. 分配问题
有 \(n\) 件工作要分配给 \(n\) 个人做。
第 \(i\) 个人做第 \(j\) 件工作产生的效益为 \(c_{ij}\)。
试设计一个将 \(n\) 件工作分配给 \(n\) 个人做的分配方案。
对于给定的 \(n\) 件工作和 \(n\) 个人，计算最优分配方案和最差分配方案。
输入格式
第 \(1\) 行有 \(1\) 个正整数 \(n\)，表示有 \(n\) 件工作要分配给 \(n\) 个人做。
接下来的 \(n\) 行中，每行有 \(n\) 个整数 \(c_{ij}\)，表示第 \(i\) 个人做第 \(j\) 件工作产生的效益为 \(c_{ij}\)。
输出格式
第一行输出最差分配方案下的最小总效益。
第二行输出最优分配方案下的最大总效益。
数据范围
\(1 \le n \le 50\),
\(0 \le c_{ij} \le 100\)
输入样例：
5
2 2 2 1 2
2 3 1 2 4
2 0 1 1 1
2 3 4 3 3
3 2 1 2 1
输出样例：
5
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解题思路
费用流，二分图最优匹配
建图：建立源点 \(s\) 和汇点 \(t\)，\(s\) 向所有工人表示的点连边，容量为 \(1\)，费用为 \(0\)，所有的工作表示的点向 \(t\) 连边，容量为 \(1\)，费用为 \(0\)，所有的工人表示的点向所有工作表示的点连边，容量足够大，费用为工人对待工作的效益，最后 \(s\) 到 \(t\) 的费用流即为所求，\(\color{red}{为什么？}\)简单说一下，可行流与实际问题一一对应，即如果工人表示的点到某个工作表示的点有流量，则说明该工人选择该工作，且由于可行流流量守恒，最后一定是满流状态，即最大流，这时的费用流最小/大，对应实际问题中匹配的效益之和最小/大
- 时间复杂度：\(O(kn^2f)\)
代码
// Problem: 分配问题
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/2195/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)
// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> void inline read(T &x) {
int f = 1; x = 0; char s = getchar();
while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
x *= f;
}
const int N=105,M=(N+2505)*2,inf=1e9;
int n,S,T;
int h[N],f[M],w[M],e[M],ne[M],idx;
int incf[N],d[N],pre[N],q[N];
bool st[N];
void add(int a,int b,int c,int d)
{
e[idx]=b,f[idx]=c,w[idx]=d,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
e[idx]=a,f[idx]=0,w[idx]=-d,ne[idx]=h[b],h[b]=idx++;
}
bool spfa()
{
memset(d,0x3f,sizeof d);
memset(incf,0,sizeof incf);
d[S]=0,incf[S]=inf,q[0]=S;
int hh=0,tt=1;
while(hh!=tt)
{
int x=q[hh++];
if(hh==N)hh=0;
st[x]=false;
for(int i=h[x];~i;i=ne[i])
{
int y=e[i];
if(d[y]>d[x]+w[i]&&f[i])
{
d[y]=d[x]+w[i];
pre[y]=i;
incf[y]=min(incf[x],f[i]);
if(!st[y])
{
q[tt++]=y;
if(tt==N)tt=0;
st[y]=true;
}
}
}
}
return incf[T]>0;
}
int EK()
{
int cost=0;
while(spfa())
{
int t=incf[T];
cost+=t*d[T];
for(int i=T;i!=S;i=e[pre[i]^1])f[pre[i]]-=t,f[pre[i]^1]+=t;
}
return cost;
}
int main()
{
memset(h,-1,sizeof h);
scanf("%d",&n);
S=0,T=n*2+1;
for(int i=1;i<=n;i++)
add(S,i,1,0),add(i+n,T,1,0);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
{
int c;
scanf("%d",&c);
add(i,j+n,inf,c);
}
printf("%d\n",EK());
for(int i=0;i<idx;i+=2)
{
f[i]+=f[i^1],f[i^1]=0;
swap(w[i],w[i^1]);
}
printf("%d",-EK());
return 0;
}
