2174. 费用流

题目链接

2174. 费用流

给定一个包含 $n$ 个点 $m$ 条边的有向图，并给定每条边的容量和费用，边的容量非负。

图中可能存在重边和自环，保证费用不会存在负环。

求从 $S$ 到 $T$ 的最大流，以及在流量最大时的最小费用。

输入格式

第一行包含四个整数 $n,m,S,T$。

接下来 $m$ 行，每行三个整数 $u,v,c,w$，表示从点 $u$ 到点 $v$ 存在一条有向边，容量为 $c$，费用为 $w$。

点的编号从 $1$ 到 $n$。

输出格式

输出点 $S$ 到点 $T$ 的最大流和流量最大时的最小费用。

如果从点 $S$ 无法到达点 $T$ 则输出 0 0。

数据范围

$2≤n≤5000$,
$1≤m≤50000$,
$0≤c≤100$,
$-100 \le w \le 100$
$S≠T$

输入样例：

5 5 1 5
1 4 10 5
4 5 5 10
4 2 12 5
2 5 10 15
1 5 10 10

输出样例：

20 300

解题思路

费用流

引入费用流时流网络中的边不止有流量的概念，还得有费用的概念
费用流即最小/大费用最大流（即最大可行流中的最小/大费用）的简称
费用流：$最大流时每条边上的可行流\times 该边上的费用$
EK 算法改进的费用流算法比较常见，这里主要讨论这个改进后的算法
主要是将 EK 算法中的 bfs 改为 spfa，spfa 用来求解源点 $s$ 到 $t$ 的最短/长路（即 $s$ 到 $t$ 上的最小路径费用和）在求最短/长路的同时找到一条增广路径，然后增加这部分的费用，直到找不到增广路径为止，$\color{red}{为什么这样可以求解费用流}$，假设对于当前可行流 $f_1$，$f_1$ 是费用最小的，假设在 $f_1$ 的残余网络中经过 spfa 找到一条增广路径，即可行流 $f_2$，则可知 $f=f_1+f_2$ 仍是一个可行流，假设此时 $f$ 虽然是当前为止费用并非最小的可行流，即有这样一个可行流 $f'=f_1+f_2'$，其中 $|f|=|f'|$，但是 $f'$ 的费用要比 $f$ 小，注意，此时有 $|f_2|=|f_2'|$，设 $cost(f)$ 为 $f$ 这个可行流的费用，则 $cost(f')=cost(f_1)+cost(f_2')=cost(f_1)+|f_2'|\times dist(f_2'))<cost(f)=cost(f_1)+cost(f_2)=cost(f_1)+|f_2|\times dist(f_2)$，则有 $dist(f_2')<dist(f_2)$，由于 $dist(f_2)$ 已经是最短路了，故假设不成立，故这种方法正确

设最大流为 $f$，$k$ 为 spfa 算法的常数，则：

• 时间复杂度：$O(kmf)$

类似的，也有 dinic 算法的改进版

• 时间复杂度：$O(kmf)$

代码

• EK 算法改进

// Problem: 费用流
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/2176/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 5000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

const int N=5005,M=100005,inf=1e9;
int n,m,S,T;
int h[N],ne[M],f[M],w[M],e[M],idx;
int incf[N],d[N],q[N],pre[N];
bool st[N];
void add(int a,int b,int c,int d)
{
	e[idx]=b,f[idx]=c,w[idx]=d,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
	e[idx]=a,f[idx]=0,w[idx]=-d,ne[idx]=h[b],h[b]=idx++;
}
bool spfa()
{
	int hh=0,tt=1;
	memset(d,0x3f,sizeof d);
	memset(incf,0,sizeof incf);
	q[0]=S,d[S]=0,incf[S]=inf;
	while(hh!=tt)
	{
		int x=q[hh++];
		if(hh==N)hh=0;
		st[x]=false;
		for(int i=h[x];~i;i=ne[i])
		{
			int y=e[i];
			if(d[y]>d[x]+w[i]&&f[i])
			{
				d[y]=d[x]+w[i];
				pre[y]=i;
				incf[y]=min(incf[x],f[i]);
				if(!st[y])
				{
					q[tt++]=y;
					if(tt==N)tt=0;
					st[y]=true;
				}
			}
		}
	}
	return incf[T]>0;
}
void EK(int &flow,int &cost)
{
	flow=cost=0;
	while(spfa())
	{
		int t=incf[T];
		flow+=t,cost+=t*d[T];
		for(int i=T;i!=S;i=e[pre[i]^1])
		{
			f[pre[i]]-=t;
			f[pre[i]^1]+=t;
		}
		
	}
}
int main()
{
	memset(h,-1,sizeof h);
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&S,&T);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
    	int a,b,c,d;
    	scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d);
    	add(a,b,c,d);
    }
    int flow,cost;
    EK(flow,cost);
    printf("%d %d",flow,cost);
    return 0;
}

• dinic 算法改进

// Problem: 费用流
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/2176/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 5000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

const int N=5005,M=100005,inf=1e9;
int n,m,S,T;
int h[N],ne[M],f[M],w[M],e[M],idx;
int incf[N],d[N],q[N],cur[N];
bool st[N];
void add(int a,int b,int c,int d)
{
	e[idx]=b,f[idx]=c,w[idx]=d,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
	e[idx]=a,f[idx]=0,w[idx]=-d,ne[idx]=h[b],h[b]=idx++;
}
bool spfa()
{
	for(int i=1;i<=n;i++)cur[i]=h[i],d[i]=inf,incf[i]=0;
	d[S]=0,incf[S]=inf;
	q[0]=S;
	int hh=0,tt=1;
	while(hh!=tt)
	{
		int x=q[hh++];
		if(hh==N)hh=0;
		st[x]=false;
		for(int i=h[x];~i;i=ne[i])
		{
			int y=e[i];
			if(d[y]>d[x]+w[i]&&f[i])
			{
				d[y]=d[x]+w[i];
				incf[y]=min(incf[x],f[i]);
				if(!st[y])
				{
					q[tt++]=y;
					if(tt==N)tt=0;
					st[y]=true;
				}
			}
		}
	}
	return incf[T]>0;
}
int dfs(int x,int limit,int &cost)
{
	if(x==T)
	{
		cost+=d[T]*limit;
		return limit;
	}
	st[x]=true;
	int flow=0;
	for(int i=cur[x];~i&&flow<limit;i=ne[i])
	{
		int y=e[i];
		if(d[y]==d[x]+w[i]&&f[i]&&!st[y])
		{
			int t=dfs(y,min(f[i],limit-flow),cost);
			if(!t)d[y]=inf;
			f[i]-=t,f[i^1]+=t,flow+=t;
		}
	}
	st[x]=false;
	return flow;
}
void dinic(int &max_flow,int &cost)
{
	max_flow=cost=0;
	int flow=0;
	while(spfa())while(flow=dfs(S,inf,cost))max_flow+=flow;
}
int main()
{
	memset(h,-1,sizeof h);
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&S,&T);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
    	int a,b,c,d;
    	scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d);
    	add(a,b,c,d);
    }
    int flow,cost;
    dinic(flow,cost);
    printf("%d %d",flow,cost);
    return 0;
}

__EOF__

本文作者：acwing_zyy
本文链接：https://www.cnblogs.com/zyyun/p/16942677.html
关于博主：评论和私信会在第一时间回复。或者直接私信我。
版权声明：本博客所有文章除特别声明外，均采用 BY-NC-SA 许可协议。转载请注明出处！
声援博主：如果您觉得文章对您有帮助，可以点击文章右下角【推荐】一下。您的鼓励是博主的最大动力！