2325. 有向图破坏
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2325. 有向图破坏
爱丽丝和鲍勃正在玩以下游戏。
首先，爱丽丝绘制一个 \(N\) 个点 \(M\) 条边的有向图。
然后，鲍勃试图毁掉它。
在每一步操作中，鲍勃都可以选取一个点，并将所有射入该点的边移除或者将所有从该点射出的边移除。
已知，对于第 \(i\) 个点，将所有射入该点的边移除所需的花费为 \(W_i^+\)，将所有从该点射出的边移除所需的花费为 \(W_i^-\)。
鲍勃需要将图中的所有边移除，并且还要使花费尽可能少。
请帮助鲍勃计算最少花费。
输入格式
第一行包含 \(N\) 和 \(M\)。
第二行包含 \(N\) 个正整数，第 \(i\) 个为 \(W_i^+\)。
第三行包含 \(N\) 个正整数，第 \(i\) 个为 \(W_i^-\)。
接下来 \(M\) 行，每行包含两个整数 \(a,b\)，表示从点 \(a\) 到点 \(b\) 存在一条有向边。
所有点编号从 \(1\) 到 \(N\)。
图中可能由重边或自环。
输出格式
第一行输出整数 \(W\)，表示鲍勃所需的最少花费。
第二行输出整数 \(K\)，表示鲍勃需要进行的操作步数。
接下来 \(K\) 行，每行输出一个鲍勃的具体操作。
如果操作为将所有射入点 \(i\) 的边移除，则输出格式为 i +。
如果操作为将所有从点 \(i\) 射出的边移除，则输出格式为 i -。
如果答案不唯一，则输出任意一种即可。
数据范围
\(1 \le N \le 100\),
\(1 \le M \le 5000\),
\(1 \le W_i^+,W_i^- \le 10^6\)
输入样例：
3 6
1 2 3
4 2 1
1 2
1 1
3 2
1 2
3 1
2 3
输出样例：
5
3
1 +
2 -
2 +
解题思路
最小割，最小权点覆盖，二分图
最小点权覆盖，即选择这样的点集，使得所有边都至少有一个端点在点集内，且这样的点集的权值之和最小
同样，最小权点覆盖在一般图中是 NPC 问题，针对二分图有很好的效果
对于一个二分图，考虑转换为流网络，建立一个源点 \(s\)，\(s\) 向二分图左部的所有点连边，容量为点权，同样地，建立一个汇点 \(t\)，二分图右部的所有点向 \(t\) 连边，容量为点权，原二分图中的边在流网络中容量足够大，可以发现：这样的建图方式与 961. 最大获利 中的建图方式类似，即证明时只用考虑简单割和极小点覆盖集（即有一些点明显可以从删去）之间的关系
证明：简单割和极小点覆盖集可以相互转换
简单割可以转换为极小点覆盖集
对于一个简单割 \([S,T]\)，对于一个割边 \([x,y]\)，由于是简单割，则一定有 \(x=s\) 或 \(y=t\)，如果 \(x=s\) 则将点 \(y\) 加入点集，否则将 \(x\) 加入点集中，\(\color{red}{这样的点集是否为点覆盖集？}\)假设在二分图中存在一条边 \(x,y\)，\(x\) 和 \(y\) 都没在点集中，即该条边没有被覆盖，则说明 \(x\) 和 \(y\) 都在割的 \(S\) 或者 \(T\) 部分，假设 \(x\) 和 \(y\) 都在 \(S\) 部分，又由于 \(y\) 会连向 \(t\)，此时存在割边 \(x\) 和 \(y\) 都在 \(T\) 部分同理，矛盾，故 \(x\) 和 \(y\) 至少有一个点会在点集中，故该点集为点覆盖集
极小点覆盖集可以转换为简单割
对于极小点覆盖集中的一个点 \(x\)，如果该点在左部，则将 \(s->x\) 作为割边，否则将 \(x->t\) 作为割边，然后构造 \(S\) 部分，从 \(s\) 出发，在不经过割边的前提下将所有能到达的点作为 \(S\) 部分，否则作为 \(T\) 部分，\(\color{red}{这样的割是否为简单割}\)，假设存在一条边可以从 \(s\) 走到 \(t\)，即存在这样的路径 \(s->x->y->t\)，这就说明 \(x->y\) 这条边没有被覆盖，与极小点覆盖集矛盾，故不存在这样的路径，且所有的割边容量有限，即这样的割是简单割
故简单割与极小点覆盖集一一对应
不难发现数量上也是一一对应的，故求最小权点覆盖等价于求最小割
本题难在建图：拆点，将所有点拆分为出点和入点，所有的出点作为二分图的左部，入点作为二分图的右部，建立源点 \(s\) 和汇点 \(t\)，对于原图中的一条有向边 \(x->y\)，要将这条边移除，可以是 \(W_x^-\)（从 \(x\) 射出的边的代价） 的代价，也可以是 \(W_y^+\)（射入 \(y\) 的边的代价） 的代价，即对应流网络中 \(s\) 向所有这样的 \(x\) 连一条容量为 \(W_x^-\) 的边，所有这样的 \(y\) 向 \(t\) 连一条容量为 \(W_y^+\) 的边，其余边容量足够大即可。不难发现其正是求最小权点覆盖，因为删除或者覆盖的边对应二分图中的边
另外，本题还要求输出方案，而且还要区分对应二分图中的左部和右部，不妨先将整个割找出来，遍历所有的割边，如果存在一个端点为 \(s\)，说明另外一个端点在右部，否则在左部
需要注意：dinic 算法求解二分图问题时间复杂度为 \(O(m\sqrt{n})\)
- 时间复杂度：\(O(m\sqrt{n})\)
代码
// Problem: 有向图破坏
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/description/2327/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)
// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> void inline read(T &x) {
int f = 1; x = 0; char s = getchar();
while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
x *= f;
}
const int N=205,M=(5005+N)*2,inf=1e9;
int n,m,S,T;
int h[N],ne[M],f[M],e[M],idx;
int d[N],hh,tt,q[N],cur[N];
bool v[N];
void add(int a,int b,int c)
{
e[idx]=b,f[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
e[idx]=a,f[idx]=0,ne[idx]=h[b],h[b]=idx++;
}
bool bfs()
{
memset(d,-1,sizeof d);
d[S]=hh=tt=0;
q[0]=S;
cur[S]=h[S];
while(hh<=tt)
{
int x=q[hh++];
for(int i=h[x];~i;i=ne[i])
{
int y=e[i];
if(d[y]==-1&&f[i])
{
d[y]=d[x]+1;
cur[y]=h[y];
if(y==T)return true;
q[++tt]=y;
}
}
}
return false;
}
int dfs(int x,int limit)
{
if(x==T)return limit;
int flow=0;
for(int i=cur[x];~i&&flow<limit;i=ne[i])
{
cur[x]=i;
int y=e[i];
if(d[y]==d[x]+1&&f[i])
{
int t=dfs(y,min(f[i],limit-flow));
if(!t)d[y]=-1;
f[i]-=t,f[i^1]+=t,flow+=t;
}
}
return flow;
}
int dinic()
{
int res=0,flow;
while(bfs())while(flow=dfs(S,inf))res+=flow;
return res;
}
void dfs(int x)
{
v[x]=true;
for(int i=h[x];~i;i=ne[i])
if(!v[e[i]]&&f[i])dfs(e[i]);
}
int main()
{
memset(h,-1,sizeof h);
scanf("%d%d",&n,&m);
S=0,T=2*n+1;
int w;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&w);
add(i+n,T,w);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&w);
add(S,i,w);
}
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int a,b;
scanf("%d%d",&a,&b);
add(a,b+n,inf);
}
printf("%d\n",dinic());
dfs(S);
int cnt=0;
for(int i=0;i<idx;i+=2)
{
int x=e[i^1],y=e[i];
if(v[x]&&!v[y])cnt++;
}
printf("%d\n",cnt);
for(int i=0;i<idx;i+=2)
{
int x=e[i^1],y=e[i];
if(v[x]&&!v[y]&&y==T)printf("%d +\n",x-n);
}
for(int i=0;i<idx;i+=2)
{
int x=e[i^1],y=e[i];
if(v[x]&&!v[y]&&x==S)printf("%d -\n",y);
}
return 0;
}
