378. 骑士放置
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378. 骑士放置
给定一个 \(N \times M\) 的棋盘，有一些格子禁止放棋子。
问棋盘上最多能放多少个不能互相攻击的骑士（国际象棋的“骑士”，类似于中国象棋的“马”，按照“日”字攻击，但没有中国象棋“别马腿”的规则）。
输入格式
第一行包含三个整数 \(N,M,T\)，其中 \(T\) 表示禁止放置的格子的数量。
接下来 \(T\) 行每行包含两个整数 \(x\) 和 \(y\)，表示位于第 \(x\) 行第 \(y\) 列的格子禁止放置，行列数从 \(1\) 开始。
输出格式
输出一个整数表示结果。
数据范围
\(1 \le N,M \le 100\)
输入样例：
2 3 0
输出样例：
4
解题思路
二分图最大独立集
独立集：选择的点集之间两两之间没有边
最大独立集：选择的独立集的点数最多
与独立集相反还有一个概念——团：选择的点集之间两两有边，最大团同理，求最大团即求其补图（原边删去，而原来没有边的两点之间建边）的最大独立集
针对二分图的最大独立集，即要求选择尽量多的点，使得选择的点两两之间没有边，等价于删除最小的点，使得所有边也跟着被删除，即最小点覆盖，这样剩下的点即最大独立集，设总点数为 \(n\) ，则对于二分图有 \(最大独立集=n-最小点覆盖\)
本题建图方式类似于 372. 棋盘覆盖，对于一个点 \((x,y)\)，其向其走 \(“日”\) 字的点连边，可知构造的二分图中这样的两个点一定属于两个不同的集合，要求在没有边的情况下点越多越好，即最大独立集
- 时间复杂度：\(O(n^2\times m^2)\)
代码
// Problem: 骑士放置
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/380/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)
// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> void inline read(T &x) {
int f = 1; x = 0; char s = getchar();
while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
x *= f;
}
const int N=105;
int n,m,t;
bool g[N][N],st[N][N];
int dx[]={-1,-2,-2,-1,1,2,2,1},dy[]={-2,-1,1,2,-2,-1,1,2};
PII match[N][N];
bool find(int x,int y)
{
for(int i=0;i<8;i++)
{
int nx=x+dx[i],ny=y+dy[i];
if(nx<1||nx>n||ny<1||ny>m||g[nx][ny])continue;
if(!st[nx][ny])
{
st[nx][ny]=true;
if(match[nx][ny].fi==0&&match[nx][ny].se==0||find(match[nx][ny].fi,match[nx][ny].se))
{
match[nx][ny]={x,y};
return true;
}
}
}
return false;
}
int main()
{
scanf("%d%d%d",&n,&m,&t);
int res=n*m;
while(t--)
{
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
res--;
g[x][y]=true;
}
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
{
if((i+j)%2||g[i][j])continue;
memset(st,0,sizeof st);
if(find(i,j))res--;
}
printf("%d",res);
return 0;
}
