378. 骑士放置

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378. 骑士放置

给定一个 $N \times M$ 的棋盘，有一些格子禁止放棋子。

问棋盘上最多能放多少个不能互相攻击的骑士（国际象棋的“骑士”，类似于中国象棋的“马”，按照“日”字攻击，但没有中国象棋“别马腿”的规则）。

输入格式

第一行包含三个整数 $N,M,T$，其中 $T$ 表示禁止放置的格子的数量。

接下来 $T$ 行每行包含两个整数 $x$ 和 $y$，表示位于第 $x$ 行第 $y$ 列的格子禁止放置，行列数从 $1$ 开始。

输出格式

输出一个整数表示结果。

数据范围

$1 \le N,M \le 100$

输入样例：

2 3 0

输出样例：

4

解题思路

二分图最大独立集

独立集：选择的点集之间两两之间没有边
最大独立集：选择的独立集的点数最多
与独立集相反还有一个概念——团：选择的点集之间两两有边，最大团同理，求最大团即求其补图（原边删去，而原来没有边的两点之间建边）的最大独立集
针对二分图的最大独立集，即要求选择尽量多的点，使得选择的点两两之间没有边，等价于删除最小的点，使得所有边也跟着被删除，即最小点覆盖，这样剩下的点即最大独立集，设总点数为 $n$ ，则对于二分图有 $最大独立集=n-最小点覆盖$

本题建图方式类似于 372. 棋盘覆盖，对于一个点 $(x,y)$，其向其走 $“日”$ 字的点连边，可知构造的二分图中这样的两个点一定属于两个不同的集合，要求在没有边的情况下点越多越好，即最大独立集

• 时间复杂度：$O(n^2\times m^2)$

代码

// Problem: 骑士放置
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/380/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

const int N=105;
int n,m,t;
bool g[N][N],st[N][N];
int dx[]={-1,-2,-2,-1,1,2,2,1},dy[]={-2,-1,1,2,-2,-1,1,2};
PII match[N][N];
bool find(int x,int y)
{
	for(int i=0;i<8;i++)
	{
		int nx=x+dx[i],ny=y+dy[i];
		if(nx<1||nx>n||ny<1||ny>m||g[nx][ny])continue;
		if(!st[nx][ny])
		{
			st[nx][ny]=true;
			if(match[nx][ny].fi==0&&match[nx][ny].se==0||find(match[nx][ny].fi,match[nx][ny].se))
			{
				match[nx][ny]={x,y};
				return true;
			}
		}
	}
	return false;
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&t);
    int res=n*m;
    while(t--)
    {
    	int x,y;
    	scanf("%d%d",&x,&y);
    	res--;
    	g[x][y]=true;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    	for(int j=1;j<=m;j++)
    	{
    		if((i+j)%2||g[i][j])continue;
			memset(st,0,sizeof st);
			if(find(i,j))res--;
    	}
    printf("%d",res);
    return 0;
}

__EOF__

本文作者：acwing_zyy
本文链接：https://www.cnblogs.com/zyyun/p/16936694.html
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