240. 食物链

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240. 食物链

动物王国中有三类动物 $A,B,C$，这三类动物的食物链构成了有趣的环形。

$A$ 吃 $B$，$B$ 吃 $C$，$C$ 吃 $A$。

现有 $N$ 个动物，以 $1 \sim N$ 编号。

每个动物都是 $A,B,C$ 中的一种，但是我们并不知道它到底是哪一种。

有人用两种说法对这 $N$ 个动物所构成的食物链关系进行描述：

第一种说法是 1 X Y，表示 $X$ 和 $Y$ 是同类。

第二种说法是 2 X Y，表示 $X$ 吃 $Y$。

此人对 $N$ 个动物，用上述两种说法，一句接一句地说出 $K$ 句话，这 $K$ 句话有的是真的，有的是假的。

当一句话满足下列三条之一时，这句话就是假话，否则就是真话。

1. 当前的话与前面的某些真的话冲突，就是假话；
2. 当前的话中 $X$ 或 $Y$ 比 $N$ 大，就是假话；
3. 当前的话表示 $X$ 吃 $X$，就是假话。

你的任务是根据给定的 $N$ 和 $K$ 句话，输出假话的总数。

输入格式

第一行是两个整数 $N$ 和 $K$，以一个空格分隔。

以下 $K$ 行每行是三个正整数 $D，X，Y$，两数之间用一个空格隔开，其中 $D$ 表示说法的种类。

若 $D=1$，则表示 $X$ 和 $Y$ 是同类。

若 $D=2$，则表示 $X$ 吃 $Y$。

输出格式

只有一个整数，表示假话的数目。

数据范围

$1 \le N \le 50000$,
$0 \le K \le 100000$

输入样例：

100 7
1 101 1 
2 1 2
2 2 3 
2 3 3 
1 1 3 
2 3 1 
1 5 5

输出样例：

3

解题思路

扩展域并查集

对于一个点可以拆分为三类：同类、天敌类、捕食类，这三种关系都是互斥的关系，即对于 $x$ 来说，把与 $x$ 同类的放在一个集合，天敌类放在一个集合，捕食类放在一个集合，现在并查集主要维护这些信息，即对于 $x$ 来说，如果 $x$ 和 $y$ 属于同一类，则将 $x$ 和 $y$ 的同类、天敌类、捕食类分别放在一个集合里面，否则如果 $x$ 吃 $y$，则分别将将 $x$ 的捕食类跟 $y$，$x$ 的天敌类和 $y$ 的捕食类，$x$ 和 $y$ 的天敌类放在一个集合里
另外，判断出现矛盾的情况：

• $x$ 和 $y$ 属于同一类

• • $x$ 吃 $y$
• • $y$ 吃 $x$

• $x$ 吃 $y$

• • $x$ 和 $y$ 属于同一类
• • $y$ 吃 $x$

• 时间复杂度：$O(n)$

带边权并查集

对于 $(x,y)$，考虑定义并查集树边权，如果 $y$ 是 $x$ 的父亲节点，说明 $x$ 可以吃 $y$，判断 $x$ 跟并查集树根节点 $rt[x]$ 的关系，如果 $x$ 到根节点 $rt[x]$ 的距离 $d[x]\%3=0$ 说明 $x$ 和 $rt[x]$ 是同类，如果 $d[x]\%3=1$ 说明 $x$ 吃 $rt[x]$，否则说明 $rt[x]$ 吃 $x$
所以并查集合并时要维护这样的信息，当合并时，只需要将需要变化的值加在根节点变化的根节点上，下次查询时所有的 $d[x]$ 都要加上这样的变化值，注意路径压缩时，当一个根节点被赋予值时，说明树中的所有 $d[x]$ 都要加上该变化值，故$d[x]$ 应该加上的是 $d[fa[x]]$ 而不是直接 $rt[x]$
另外：取模可能会出现负数，即不一定有 $a\%3\leq b\%3$ 等价于 $(a-b)\%3$，因为负数取模是先取模再加上负号

• 时间复杂度：$O(n)$

代码

• 扩展域并查集

// Problem: 食物链
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/description/242/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

const int N=50005*3;
int n,k,fa[N];
int find(int x)
{
	return x==fa[x]?x:fa[x]=find(fa[x]);
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=3*n;i++)fa[i]=i;
    int res=0;
    while(k--)
    {
    	int d,x,y;
    	scanf("%d%d%d",&d,&x,&y);
    	if(x>n||y>n)
		{
			res++;
			continue;
		}
    	if(d==1)
    	{
    		if(find(x+2*n)==find(y))res++;
    		else if(find(y+2*n)==find(x))res++;
    		else
    			fa[find(x)]=find(y),fa[find(x+n)]=find(y+n),fa[find(x+2*n)]=find(y+2*n);
    	}
    	else
    	{
    		if(x==y)
    		{
    			res++;
    			continue;
    		}
    		if(find(x)==find(y))res++;
    		else if(find(y+2*n)==find(x))res++;
    		else
    			fa[find(y)]=find(x+2*n),fa[find(y+2*n)]=find(x+n),fa[find(x)]=find(y+n);
    	}
    }
    printf("%d",res);
    return 0;
}

• 带边权并查集

// Problem: 食物链
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/description/242/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

const int N=50005;
int n,k,fa[N],d[N];
int find(int x)
{
	if(x==fa[x])return x;
	int t=find(fa[x]);
	d[x]+=d[fa[x]];
	return fa[x]=t;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;
    int res=0;
    while(k--)
    {
    	int op,x,y;
    	scanf("%d%d%d",&op,&x,&y);
    	if(x>n||y>n)
    	{
    		res++;
    		continue;
    	}
    	int px=find(x),py=find(y);
    	if(op==1)
    	{
    		if(px==py&&(d[x]-d[y])%3)res++;
    		else if(px!=py)
    		{
    			fa[px]=py;
    			d[px]=d[y]-d[x];
    		}
    	}
    	else
    	{
    		if(x==y)
    		{
    			res++;
    			continue;
    		}
    		if(px==py&&(d[x]-d[y]-1)%3)res++;
    		else if(px!=py)
    		{
    			fa[px]=py;
    			d[px]=d[y]-d[x]+1;
    		}
    	}
    }
    printf("%d",res);
    return 0;
}

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本文作者：acwing_zyy
本文链接：https://www.cnblogs.com/zyyun/p/16935515.html
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