240. 食物链
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240. 食物链
动物王国中有三类动物 \(A,B,C\)，这三类动物的食物链构成了有趣的环形。
\(A\) 吃 \(B\)，\(B\) 吃 \(C\)，\(C\) 吃 \(A\)。
现有 \(N\) 个动物，以 \(1 \sim N\) 编号。
每个动物都是 \(A,B,C\) 中的一种，但是我们并不知道它到底是哪一种。
有人用两种说法对这 \(N\) 个动物所构成的食物链关系进行描述：
第一种说法是 1 X Y，表示 \(X\) 和 \(Y\) 是同类。
第二种说法是 2 X Y，表示 \(X\) 吃 \(Y\)。
此人对 \(N\) 个动物，用上述两种说法，一句接一句地说出 \(K\) 句话，这 \(K\) 句话有的是真的，有的是假的。
当一句话满足下列三条之一时，这句话就是假话，否则就是真话。
- 当前的话与前面的某些真的话冲突，就是假话；
- 当前的话中 \(X\) 或 \(Y\) 比 \(N\) 大，就是假话；
- 当前的话表示 \(X\) 吃 \(X\)，就是假话。
你的任务是根据给定的 \(N\) 和 \(K\) 句话，输出假话的总数。
输入格式
第一行是两个整数 \(N\) 和 \(K\)，以一个空格分隔。
以下 \(K\) 行每行是三个正整数 \(D，X，Y\)，两数之间用一个空格隔开，其中 \(D\) 表示说法的种类。
若 \(D=1\)，则表示 \(X\) 和 \(Y\) 是同类。
若 \(D=2\)，则表示 \(X\) 吃 \(Y\)。
输出格式
只有一个整数，表示假话的数目。
数据范围
\(1 \le N \le 50000\),
\(0 \le K \le 100000\)
输入样例：
100 7
1 101 1
2 1 2
2 2 3
2 3 3
1 1 3
2 3 1
1 5 5
输出样例：
3
解题思路
扩展域并查集
对于一个点可以拆分为三类：同类、天敌类、捕食类，这三种关系都是互斥的关系，即对于 \(x\) 来说，把与 \(x\) 同类的放在一个集合，天敌类放在一个集合，捕食类放在一个集合，现在并查集主要维护这些信息，即对于 \(x\) 来说，如果 \(x\) 和 \(y\) 属于同一类，则将 \(x\) 和 \(y\) 的同类、天敌类、捕食类分别放在一个集合里面，否则如果 \(x\) 吃 \(y\)，则分别将将 \(x\) 的捕食类跟 \(y\)，\(x\) 的天敌类和 \(y\) 的捕食类，\(x\) 和 \(y\) 的天敌类放在一个集合里
另外，判断出现矛盾的情况：
-
\(x\) 和 \(y\) 属于同一类
-
- \(x\) 吃 \(y\)
-
- \(y\) 吃 \(x\)
-
\(x\) 吃 \(y\)
-
- \(x\) 和 \(y\) 属于同一类
-
- \(y\) 吃 \(x\)
-
时间复杂度：\(O(n)\)
带边权并查集
对于 \((x,y)\)，考虑定义并查集树边权，如果 \(y\) 是 \(x\) 的父亲节点，说明 \(x\) 可以吃 \(y\)，判断 \(x\) 跟并查集树根节点 \(rt[x]\) 的关系，如果 \(x\) 到根节点 \(rt[x]\) 的距离 \(d[x]\%3=0\) 说明 \(x\) 和 \(rt[x]\) 是同类，如果 \(d[x]\%3=1\) 说明 \(x\) 吃 \(rt[x]\)，否则说明 \(rt[x]\) 吃 \(x\)
所以并查集合并时要维护这样的信息，当合并时，只需要将需要变化的值加在根节点变化的根节点上，下次查询时所有的 \(d[x]\) 都要加上这样的变化值，注意路径压缩时，当一个根节点被赋予值时，说明树中的所有 \(d[x]\) 都要加上该变化值，故\(d[x]\) 应该加上的是 \(d[fa[x]]\) 而不是直接 \(rt[x]\)
另外：取模可能会出现负数，即不一定有 \(a\%3\leq b\%3\) 等价于 \((a-b)\%3\)，因为负数取模是先取模再加上负号
- 时间复杂度：\(O(n)\)
代码
- 扩展域并查集
// Problem: 食物链
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/description/242/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)
// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> void inline read(T &x) {
int f = 1; x = 0; char s = getchar();
while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
x *= f;
}
const int N=50005*3;
int n,k,fa[N];
int find(int x)
{
return x==fa[x]?x:fa[x]=find(fa[x]);
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&k);
for(int i=1;i<=3*n;i++)fa[i]=i;
int res=0;
while(k--)
{
int d,x,y;
scanf("%d%d%d",&d,&x,&y);
if(x>n||y>n)
{
res++;
continue;
}
if(d==1)
{
if(find(x+2*n)==find(y))res++;
else if(find(y+2*n)==find(x))res++;
else
fa[find(x)]=find(y),fa[find(x+n)]=find(y+n),fa[find(x+2*n)]=find(y+2*n);
}
else
{
if(x==y)
{
res++;
continue;
}
if(find(x)==find(y))res++;
else if(find(y+2*n)==find(x))res++;
else
fa[find(y)]=find(x+2*n),fa[find(y+2*n)]=find(x+n),fa[find(x)]=find(y+n);
}
}
printf("%d",res);
return 0;
}
- 带边权并查集
// Problem: 食物链
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/description/242/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)
// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> void inline read(T &x) {
int f = 1; x = 0; char s = getchar();
while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
x *= f;
}
const int N=50005;
int n,k,fa[N],d[N];
int find(int x)
{
if(x==fa[x])return x;
int t=find(fa[x]);
d[x]+=d[fa[x]];
return fa[x]=t;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&k);
for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;
int res=0;
while(k--)
{
int op,x,y;
scanf("%d%d%d",&op,&x,&y);
if(x>n||y>n)
{
res++;
continue;
}
int px=find(x),py=find(y);
if(op==1)
{
if(px==py&&(d[x]-d[y])%3)res++;
else if(px!=py)
{
fa[px]=py;
d[px]=d[y]-d[x];
}
}
else
{
if(x==y)
{
res++;
continue;
}
if(px==py&&(d[x]-d[y]-1)%3)res++;
else if(px!=py)
{
fa[px]=py;
d[px]=d[y]-d[x]+1;
}
}
}
printf("%d",res);
return 0;
}
