2187. 星际转移问题

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2187. 星际转移问题

由于人类对自然资源的消耗，人们意识到大约在 $2300$ 年之后，地球就不能再居住了。

于是在月球上建立了新的绿地，以便在需要时移民。

令人意想不到的是，$2177$ 年冬由于未知的原因，地球环境发生了连锁崩溃，人类必须在最短的时间内迁往月球。

现有 $n$ 个太空站（编号 $1 \sim n$）位于地球与月球之间，且有 $m$ 艘公共交通太空船在其间来回穿梭。

每个太空站可容纳无限多的人，而每艘太空船 $i$ 只可容纳 $H[i]$ 个人。

每艘太空船将周期性地停靠一系列的太空站，例如：$(1，3，4)$ 表示该太空船将周期性地停靠太空站 $134134134…$。

每一艘太空船从一个太空站驶往任一太空站耗时均为 $1$。

人们只能在太空船停靠太空站(或月球、地球)时上、下船。

初始时所有人全在地球上，太空船全在初始站，即行驶周期中的第一个站。

试设计一个算法，找出让所有人尽快地全部转移到月球上的运输方案。

输入格式

第 $1$ 行有 $3$ 个正整数 $n$（太空站个数），$m$（太空船个数）和 $k$（需要运送的地球上的人的个数）。

接下来的 $m$ 行给出太空船的信息。第 $i+1$ 行说明太空船 $p_i$。第 $1$ 个数表示 $p_i$ 可容纳的人数 $H[p_i]$；第 $2$ 个数表示 $p_i$ 一个周期停靠的太空站个数 $r$；随后 $r$ 个数是停靠的太空站的编号 $(S_{i1},S_{i2},…,S_{ir})$，地球用 $0$ 表示，月球用 $-1$ 表示。

时刻 $0$ 时，所有太空船都在初始站，然后开始运行。

在时刻 $1，2，3…$ 等正点时刻各艘太空船停靠相应的太空站。

人只有在 $0,1,2…$ 等正点时刻才能上下太空船。

输出格式

输出让所有人尽快地全部转移到月球上的最短用时。

如果无解，则输出 $0$。

数据范围

$1 \le n \le 13$,
$1 \le m \le 20$,
$1 \le k \le 50$,
$1 \le r \le n+2$,

输入样例：

2 2 1
1 3 0 1 2
1 3 1 2 -1

输出样例：

5

解题思路

最大流，网络流24题，分层图

本题考虑建立分层图，即对于 $day$ 天，对于 $day$ 中的每一天针对每个空间站（包括地球和月球）建立一个节点，建立一个源点 $S$ 和汇点 $T$，$S$ 连向第 $0$ 天的地球代表的节点，且容量为地球人数，这 $day$ 天中月球所代表的节点连向 $T$，且容量足够大，对于第 $day-1$ 和 $day$ 天节点的关系：每个空间站表示的节点向下一天该空间站表示节点连边，且容量足够大，每个空间船表示一条边，即对于每个空间船来说当天空间站所表示的节点连向下一天空间站表示的节点，且容量为飞船容量，这样从小到大遍历 $day$，当最大流满流时即找到最小的 $day$。$\color{red}{为什么？}$当满流时，对应地球表示的节点上的流量都流走了，且最终都经过月球表示的节点，表示实际中地球上的所有人都到了月球，流网络从某天的节点到同一天的节点表示该处的流量不变，即该空间站上的人下一天仍在该空间站，当流向其他空间站表示的节点时，即下一天一定数量的人走到另外一个空间站，流网络可行流对应实际问题

设答案为 $k$，则：

• 时间复杂度：$O(kn^2m)$

代码

// Problem: 星际转移问题
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/2189/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

const int N=15*22*55*15,M=(N+15*22*55*15)*2,inf=1e9;

int n,m,k,S,T;
int h[N],f[M],e[M],ne[M],idx;
int fa[25];
int hh,tt,q[N],cur[N],d[N];
struct Ship
{
	int h,p;
	int s[25];
}ship[30];
void add(int a,int b,int c)
{
	e[idx]=b,f[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
	e[idx]=a,f[idx]=0,ne[idx]=h[b],h[b]=idx++;
}
int find(int x)
{
	return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);
}
int get(int day,int i)
{
	return day*(n+2)+i;
}
bool bfs()
{
    memset(d,-1,sizeof d);
    hh=tt=d[S]=0;
    q[0]=S;
    cur[S]=h[S];
    while(hh<=tt)
    {
        int x=q[hh++];
        for(int i=h[x];~i;i=ne[i])
        {
            int y=e[i];
            if(d[y]==-1&&f[i])
            {
                d[y]=d[x]+1;
                cur[y]=h[y];
                if(y==T)return true;
                q[++tt]=y;
            }
        }
    }
    return false;
}
int dfs(int x,int limit)
{
    if(x==T)return limit;
    int flow=0;
    for(int i=cur[x];~i&&flow<limit;i=ne[i])
    {
        cur[x]=i;
        int y=e[i];
        if(d[y]==d[x]+1&&f[i])
        {
            int t=dfs(y,min(f[i],limit-flow));
            if(!t)d[y]=-1;
            f[i]-=t,f[i^1]+=t,flow+=t;
        }
    }
    return flow;
}
int dinic()
{
    int res=0,flow;
    while(bfs())while(flow=dfs(S,inf))res+=flow;
    return res;
}
int main()
{
	memset(h,-1,sizeof h);
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    for(int i=1;i<25;i++)fa[i]=i;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
    	scanf("%d%d",&ship[i].h,&ship[i].p);
    	for(int j=0;j<ship[i].p;j++)
    	{
    		scanf("%d",&ship[i].s[j]);
    		if(ship[i].s[j]==-1)ship[i].s[j]=n+1;
    		if(j)fa[find(ship[i].s[j-1])]=find(ship[i].s[j]);
    	}
    }
    if(find(0)!=find(n+1))puts("0");
    else
	{
		S=N-1,T=N-2;
		int day=0,res=0;
		add(S,get(0,0),k);
		add(get(0,n+1),T,inf);
		while(true)
		{
			day++;
			add(get(day,n+1),T,inf);
			for(int i=0;i<=n+1;i++)
			{
				int x=get(day-1,i),y=get(day,i);
				add(x,y,inf);
			}
			for(int i=1;i<=m;i++)
			{
				int p=ship[i].p;
				int x=get(day-1,ship[i].s[(day-1)%p]);
				int y=get(day,ship[i].s[day%p]);
				add(x,y,ship[i].h);
			}
			res+=dinic();
			if(res==k)break;
		}
		printf("%d",day);
	}    
    return 0;
}

__EOF__

本文作者：acwing_zyy
本文链接：https://www.cnblogs.com/zyyun/p/16928078.html
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