1067. 精确覆盖问题

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1067. 精确覆盖问题

给定一个 $N \times M$ 的数字矩阵 $A$，矩阵中的元素 $A_{i,j} \in \lbrace 0,1 \rbrace$。

请问，你能否在矩阵中找到一个行的集合，使得这些行中，每一列都有且仅有一个数字 $1$。

输入格式

第一行包含两个整数 $N$ 和 $M$。

接下来 $N$ 行，每行包含 $M$ 个整数（$0$ 或 $1$），表示完整的数字矩阵。

输出格式

如果能找到满足条件的行的集合，则在一行中依次输出这些行的编号（行编号 $1 \sim N$)。

如果方案不唯一，则以任意顺序输出任意方案即可。

否则，输出 No Solution!。

数据范围

$1 \le N,M \le 500$,
数据保证矩阵中 $1$ 的数量不超过 $5000$。

输入样例1：

3 3
0 1 0
0 0 1
1 0 0

输出样例1：

1 2 3

输入样例2：

4 4
0 0 0 1
1 0 0 0
1 1 0 1
0 1 0 0

输出样例2：

No Solution!

解题思路

DLX，精确覆盖

DLX 是一种基于十字链表的搜索算法，主要用来解决精确覆盖问题和重复覆盖问题

对于十字链表，即针对稀疏矩阵，即矩阵中 $1$ 的个数不多，对于矩阵中 $1$ 的位置都建立一个节点，每个节点都有上、下、左、右四个循环指针，建立十字链表时一行一行插入，首先插入一行哨兵，后面插入时统一逆插，即将所有矩阵上下和左右翻转，唯一的区别是哨兵行的左右指针没有翻转，这样便区分开了，但要找的是行，对答案没有影响

优化：找到一个含 $1$ 最少的列，然后再该列中枚举选择哪一行，如果选择某一行，则其他行应该删除，因为精确覆盖每一列有且只有一个 $1$，另外对于选择的行，其中出现 $1$ 的列也应该删除，另外需要注意的一点：删除列时对于真正节点只需要在上下方向删除，因为后面对于某含最少个数的 $1$ 的列，通过上下指针枚举行，而那些要删除的行我们已经在上下方向删除了不会被枚举到，恢复时反向也好恢复

DLX 处理精确覆盖问题甚至有时能处理 $O(10000)$ 的数据
设 $n$ 为矩阵中 $1$ 的个数，$c$ 为接近 $1$ 的常数，则：

• 时间复杂度：$O(c^n)$

代码

// Problem: 精确覆盖问题
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/description/1069/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

const int N=5505;
int n,m;
int L[N],R[N],U[N],D[N],s[N],col[N],row[N],idx;
int res[N],top;
void init()
{
	for(int i=0;i<=m;i++)
		L[i]=i-1,R[i]=i+1,U[i]=D[i]=i;
	L[0]=m,R[m]=0;
	idx=m+1;
}
void add(int &hh,int &tt,int x,int y)
{
	row[idx]=x,col[idx]=y,s[y]++;
	L[tt]=R[hh]=idx,L[idx]=hh,R[idx]=tt;
	U[idx]=y,D[idx]=D[y],U[D[y]]=idx,D[y]=idx;
	tt=idx++;
}
void remove(int p)
{
	R[L[p]]=R[p],L[R[p]]=L[p];
	for(int i=D[p];i!=p;i=D[i])
		for(int j=R[i];j!=i;j=R[j])
		{
			s[col[j]]--;
			U[D[j]]=U[j],D[U[j]]=D[j];
		}
}
void resume(int p)
{
	for(int i=U[p];i!=p;i=U[i])
		for(int j=L[i];j!=i;j=L[j])
		{
			U[D[j]]=j,D[U[j]]=j;
			s[col[j]]++;
		}
	R[L[p]]=p,L[R[p]]=p;
}
bool dfs()
{
	if(!R[0])return true;
	int p=R[0];
	for(int i=R[0];i;i=R[i])
		if(s[i]<s[p])p=i;
	remove(p);
	for(int i=D[p];i!=p;i=D[i])
	{
		res[++top]=row[i];
		for(int j=L[i];j!=i;j=L[j])remove(col[j]);
		if(dfs())return true;
		for(int j=R[i];j!=i;j=R[j])resume(col[j]);
		top--;
	}
	resume(p);
	return false;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    init();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
    	int hh=idx,tt=idx;
    	for(int j=1;j<=m;j++)
    	{
    		int x;
    		scanf("%d",&x);
    		if(x)add(hh,tt,i,j);
    	}
    }
    if(dfs())
    	for(int i=1;i<=top;i++)printf("%d ",res[i]);
    else
    	puts("No Solution!");
    return 0;
}

__EOF__

本文作者：acwing_zyy
本文链接：https://www.cnblogs.com/zyyun/p/16905722.html
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