223. 阿九大战朱最学

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223. 阿九大战朱最学

自从朱最学搞定了 QQ 农场以后，就开始捉摸去 QQ 牧场干些事业，不仅在自己的牧场养牛，还到阿九的牧场放牛！

阿九很生气，有一次朱最学想知道阿九牧场奶牛的数量，于是阿九想狠狠耍朱最学一把。

举个例子，假如有 $16$ 头奶牛，如果建了 $3$ 个牛棚，剩下 $1$ 头牛就没有地方安家了。

如果建造了 $5$ 个牛棚，但是仍然有 $1$ 头牛没有地方去，然后如果建造了 $7$ 个牛棚，还有 $2$ 头没有地方去。

你作为阿九的私人秘书理所当然要将准确的奶牛数报给阿九，你该怎么办？

输入格式

第一行包含一个整数 $n$ 表示建立牛棚的次数。

接下来 $n$ 行，每行两个整数 $a_i, b_i$，表示建立了 $a_i$ 个牛棚，有 $b_i$ 头牛没有去处。

你可以假定不同 $a_i$ 之间互质。

输出格式

输出包含一个正整数，即为阿九至少养奶牛的数目。

数据范围

$1 \le n \le 10$,
$1 \le a_i,b_i \le 1200000$
所有 $a_i$ 的乘积不超过 $10^{12}$。

输入样例：

3
3 1
5 1
7 2

输出样例：

16

解题思路

中国剩余定理：设 $m_1, m_2, \cdots, m_n$ 是两两互质的整数, $m=\prod_{i=1}^n m_i, M_i=m / m_i, t_i$ 是线性同余 方程 $M_i t_i \equiv 1\left(\bmod m_i\right)$ 的一个解。对于任意的 $n$ 个整数 $a_1, a_2, \cdots, a_n$, 方程组

$$\left\{\begin{array}{c} x \equiv a_1\left(\bmod m_1\right) \\ x \equiv a_2\left(\bmod m_2\right) \\ \vdots \\ x \equiv a_n\left(\bmod m_n\right) \end{array}\right.$$

有整数解, 解为 $x=\sum_{i=1}^n a_i M_i t_i$ 。

（来自蓝书）证明：因为 $M_i=m / m_i$ 是除 $m_i$ 之外所有模数的倍数, 所以 $\forall k \neq i, a_i M_i t_i \equiv 0$ $\left(\bmod m_k\right)$ 。又因为 $a_i M_i t_i \equiv a_i\left(\bmod m_i\right)$, 所以代入 $x=\sum_{i=1}^n a_i M_i t_i$, 原方程组成立

求出一个特解 $x$，可得其通解为 $x+k m(k \in \mathbb{Z})$

• 时间复杂度：$O(mlogn)$

代码

// Problem: 阿九大战朱最学
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/225/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

const int N=15;
int n,a[N],b[N];
LL M=1,m[N],res=0;
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
	if(!b)
	{
		x=1,y=0;
		return a;
	}
	LL d=exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=a/b*x;
	return d;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
    	scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);
    	M*=a[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
    	m[i]=M/a[i];
    	LL x,y;
    	exgcd(m[i],a[i],x,y);
    	res+=m[i]*x*b[i];
    }
    cout<<(res%M+M)%M;
    return 0;
}

__EOF__

本文作者：acwing_zyy
本文链接：https://www.cnblogs.com/zyyun/p/16897417.html
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