2714. 左偏树

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2714. 左偏树

你需要维护一个小根堆的集合，初始时集合是空的。

该集合需要支持如下四种操作：

1. 1 a，在集合中插入一个新堆，堆中只包含一个数 \(a\)。
2. 2 x y，将第 \(x\) 个插入的数和第 \(y\) 个插入的数所在的小根堆合并。数据保证两个数均未被删除。若两数已在同一堆中，则忽略此操作。
3. 3 x，输出第 \(x\) 个插入的数所在小根堆的最小值。数据保证该数未被删除。
4. 4 x，删除第 \(x\) 个插入的数所在小根堆的最小值（若最小值不唯一，则优先删除先插入的数）。数据保证该数未被删除。

输入格式

第一行包含整数 \(n\)，表示总操作数量。

接下来 \(n\) 行，每行包含一个操作命令，形式如题所述。

输出格式

对于每个操作 \(3\)，输出一个整数，占一行，表示答案。

数据范围

\(1 \le n \le 2 \times 10^5\),
\(1 \le a \le 10^9\),
\(1 \le x,y \le\) 当前插入数的个数。
数据保证所有操作合法。

输入样例：

6
1 3
1 2
2 1 2
3 1
4 2
3 1

输出样例：

2
3

解题思路

左偏树

左偏树作为可并堆的一种数据结构，其重点在于将两个堆合并，在维护堆的性质之外，每个节点 \(x\) 另外维护一个信息 \(dist[x]\) 表示 \(x\) 到最近的叶子节点的距离，且要求所有的左子树 \(l\) 和右子树 \(r\) 都有这样的关系：\(dist[l]\geq dist[r]\)，这样可以保证合并的复杂度为 \(O(logn)\)，具体证明不再赘述。以小根堆为例，合并 \(x,y\) 时 即将大的最为小的一棵子树，即递归合并，如果发现有不满足左偏树 \(dist\) 性质的情况，交换左右两棵子树即可

本题另外需要用并查集维护集合关系

• 时间复杂度：\(O(nlogn)\)

代码

// Problem: 左偏树
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/2716/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

const int N=2e5+5;
int n,op,x,y,cnt;
int fa[N],v[N],l[N],r[N],dist[N];
bool cmp(int x,int y)
{
	if(v[x]!=v[y])return v[x]<v[y];
	return x<y;
}
int find(int x)
{
	return x==fa[x]?x:fa[x]=find(fa[x]);
}
int merge(int x,int y)
{
	if(!x||!y)return x+y;
	if(cmp(y,x))swap(x,y);
	r[x]=merge(r[x],y);
	if(dist[l[x]]<dist[r[x]])swap(l[x],r[x]);
	dist[x]=dist[r[x]]+1;
	return x;
}
void pop(int x)
{
	int y=merge(l[x],r[x]);
	fa[x]=y,fa[y]=y;
}
int main()
{
	for(cin>>n;n;n--)
	{
		cin>>op>>x;
		if(op==1)
		{
			v[++cnt]=x;
			dist[cnt]=1;
			fa[cnt]=cnt;
		}
		else if(op==2)
		{
			cin>>y;
			x=find(x),y=find(y);
			if(x!=y)
			{
				if(cmp(y,x))swap(x,y);
				fa[y]=x;
				merge(x,y);
			}
		}
		else if(op==3)printf("%d\n",v[find(x)]);
		else
			pop(find(x));
	}    
    return 0;
}